3 为什么要学习函数式编程
函数式编程之所以重要有以下原因：
3.1 可任意赋值
函数式语言允许程序不事先分配内存。结构化的命令式语言（没有goto语句）使得程序容易派生，便于理解和追踪。类似的，assignment-free函数语言也有相同的优点。
3.2 抽象层次高
函数式语言提倡使用更高层次的抽象。例如，函数可以作为函数调用的返回值。函数可以像数据一样被操纵。现存的函数可以被修改，也可以联合组成新的函数。函数式编程包含大量的工作单元而很少使用个体声明。算法可以被直接实现而不引用任何数据。
3.3 并行计算
函数式编程语言允许应用程序处理数据集合而不是强制性迭代处理集合中的每项数据。这些应用程序可以任意赋值并且独立求值，函数式编程语言提供了并行处理结构化数据的理想范式。
3.4 人工智能
函数式语言在人工智能领域得到广泛的应用。AI研究者在 LISP程序语言的基础上做了许多早期的开发工作，虽然它不是一个纯粹的函数式语言，但对大多数函数式语言的设计产生了重要的影响。
3.5 原型设计
在复杂系统的设计，函数式语言通常会制定设计规范并且开发一个原型实现系统的主要功能。函数式语言简单的语义和严格的数学基础使它成为复杂系统功能设计的理想工具。
3.6 理论
函数式语言的数学基础提供了与计算机科学理论的衔接。问题的可判定性可能代表了不同函数框架应用。例如，denotational语义的本质是将命令式程语言序转化为等价的函数式语言程序。
4 J函数式编程语言
J编程语言[Burk 2001,Bur 2001,Hui 2001]是一个函数式编程语言。J使用插入记号和特殊符号表示原函数，诸如+或者 %，或者在 .或者 :后面添加特殊符号或者单词。每个函数名称可能作为一元参数（一个变元，通常写在右边）或者二元参数（两个变元，一个在左边，另一个在右边）。
J语言内置函数列表在数字1和2里展示。这些数字展示了在*左边的一元函数定义和在右边的二元函数定义。例如，函数标记+:代表一元doubl参数e和二元not-or(nor)参数。
Figure 1: J Vocabulary, Part 1
J使用简单的规则判定函数表达式的优先级。一元变量或者右边的二元变量是整个表达式右边的值。左边二元变量的值作为优先项赋值给左边的二元变量。括号用于更改表达式的优先级。例如，表达式34+5值为27，然而表达式（34）+5的值为17。
Figure 2: J Vocabulary, Part 2
高优先级函数（返回值为函数的函数）必须在其它函数调用前完成（必须）。有两种类型的高优先级函数同 ; adverbs （高优先级一元函数）和conjunctions （高优先级二元函数）。数字1和 2用粗斜体表示adverbs，用粗体表示conjunctions 。例如，与运算符 (Curry)绑定一个固定参数值的二元函数，返回一个一元函数(4&*导出一个求4的幂级数的一元函数).。
J是一种函数式编程语言，它使用函数化组成方式模拟计算处理。J提供一种叫做隐式（tacit）的编程方式。隐式（Tacit）编程无需引用他们的参数，并且常常使用特别的构成规则，这被叫做hooksand forks。显式编程这种传统的控制结构也被支持。内部一个显式的定义，左边的参数是一对的，总是被命名为 x. 同时单参数（与右边的双参数类似）会被命名为 y. 。
J提供了一个强有力的简单数据结构集合比如（列表）list和（数组）array。数据（在J语言中撤销是函数的第一类状态），一旦将标识创建为常量或者函数应用，就不可以再修改。数据项具备这样几个属性，例如类型（type）（数字或者字符，确切值或者不确定值等等），图形（shape）（每个轴线上都有长度的列表（list））和排（rank）（轴线上的数字）。名称（Name）是一个抽象的工具（非内存单元），它可以被赋值（或者反向赋值）为数据或者函数。
5 J 语言编程示例
函数式编程中计算的基础模型是函数组合. 一个程序包含一系列的函数应用程序，它们互相协作共同计算出程序的最终结果. J编程语言包含丰富的原生函数，使用更高级别的函数和组合规则将它们组合在一起供程序使用. 为了更好的理解理解组合规则和更高级别的函数，我们可以使用标准的数学符号以符号的形式构造出一些语言的特性。我们先从使用字符数据给参数名字赋值开始.
x =: 'x' y =: 'y'我们希望有一些命名为 f. g, h, 以及 i 的函数, 每一个函数的形式如下 :
f =: 3 : 0 'f(',y.,')' : 'f(',x.,',',y.,')' )我们使用一种函数生成定义，它使用到了一个模式，而不是为每一个函数都输入定义（以及他们的反函数）.
math_pat =: 3 : 0 '''',y.,'('',y.,'')''',LF,':',LF,'''',y.,'('',x.,'','',y.,'')''' )应用 math_pat 会产生如下定义:
math_pat 'f' 'f(',y.,')' : 'f(',x.,',',y.,')'使用我们所拥有的显示的定义 (:) 以及 反向定义 (:.):
f =: (3 : (math_pat 'f')) :. (3 : (math_pat 'f_inv')) g =: (3 : (math_pat 'g')) :. (3 : (math_pat 'g_inv')) h =: (3 : (math_pat 'h')) :. (3 : (math_pat 'h_inv')) i =: (3 : (math_pat 'i')) :. (3 : (math_pat 'i_inv'))它会为 f. g, h, 和 i 中的每一个函数都生成定义，还有每一个函数的反函数的符号式定义.
接下来，我们使用这些定义来探索J的一些组合规则以及更高级别的函数.
f g y f(g(y)) (f g) y f(y,g(y)) x f g y f(x,g(y)) x (f g) y f(x,g(y)) f g h y f(g(h(y))) (f g h) y g(f(y),h(y)) x f g h y f(x,g(h(y))) x (f g h) y g(f(x,y),h(x,y)) f g h i y f(g(h(i(y)))) (f g h i) y f(y,h(g(y),i(y))) x f g h i y f(x,g(h(i(y)))) x (f g h i) y f(x,h(g(y),i(y))) f@g y f(g(y)) x f@g y f(g(x,y)) f&g y f(g(y)) x f&g y f(g(x),g(y)) f&.g y g_inv(f(g(y))) (h &. (f&g))y g_inv(f_inv(h(f(g(y))))) x f&.g y g_inv(f(g(x),g(y))) f&:g y f(g(y)) x f&:g y f(g(x),g(y)) (f&g) 'ab' f(g(ab)) (f&(g"0)) 'ab' f(g(a)) f(g(b)) (f&:(g"0)) 'ab' f( g(a) g(b) )))) f^:3 y f(f(f(y))) f^:_2 y f_inv(f_inv(y)) f^:0 y y f 'abcd' f(abcd) f/ 2 3$'abcdef' f(abc,def) (f/"0) 2 3$'abcdef' abc def (f/"1) 2 3$'abcdef' f(a,f(b,c)) f(d,f(e,f)) (f/"2) 2 3$'abcdef' f(abc,def) 'abc' f/ 'de' f(abc,de) 'abc' (f"0)/ 'de' f(a,d) f(a,e) f(b,d) f(b,e) f(c,d) f(c,e) 'abc' (f"1)/ 'de' f(abc,de)5.1 数字
浮点数用诸如3e10来表示并且可以通过使用谓词x:转换为精确的定点数。
x: 3e10 30000000000 有理数通常使用r来分割分子和分母。 ]a =: 1r2 1r2 (%a)+a^2 9r4 %2 0.5 % x: 2 1r2使用整形谓词（$）我们可以创建一个 $3 times 3$ 表格并且赋以精确的值。
] matrix =: x: 3 3 $ _1 2 5 _8 0 1 _4 3 3 _1 2 5 _8 0 1 _4 3 3 ]inv_matrix =: %. matrix 3r77 _9r77 _2r77 _20r77 _17r77 39r77 24r77 5r77 _16r77 matrix +/ . * inv_matrix 1 0 0 0 1 0 0 0 1阶乘函数（！）中使用定点数将产生巨大的数字。
! x: i. 20 1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 39916800 479001600 6227020800 87178291200 1307674368000 20922789888000 355687428096000 6402373705728000 121645100408832000 ! 100x 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217 59999322991560894146397615651828625369792082722375825118521091686400 0000000000000000000000统计!n末尾有多少个0，我们可以使用函数q:，这个函数可以统计它整数参数中的有效数字。!n后面的0都有因子（乘法中的因子，比如6=2*3，2和3就是6的因子）2和5。显然 !n因子2的个数远比因子5.我们可以通过如下代码统计!n中0的个数。
+/ , 5 = q: >: i. 4 0 !6 720 +/ , 5 = q: >: i. 6 1 !20x 2432902008176640000 +/ , 5 = q: >: i. 20 4J支持复数，使用符号j来区分实部和虚部。
0j1 * 0j1 _1 +. 0j1 * 0j1 NB. real and imaginary parts _1 0 + 3j4 NB. conjugate 3j_4还支持如下的数字：
1p1 NB. pi 3.14159 2p3 NB. 2*pi^3 62.0126 1x1 NB. e 2.71828 x: 1x1 NB. e as a rational (inexact) 6157974361033r2265392166685 x: 1x_1 NB. reciprocal of e as a rational (inexact) 659546860739r1792834246565 2b101 NB. base 2 representation 5 1ad90 NB. polar representation 0j1 *. 0j1 NB. magnitude and angle 1 1.5708 180p_1 * 1{ *. 3ad30 * 4ad15 NB. angle (in degrees) of product 45我们可以像下面一样定义一个函数 rotate 和rad2deg：
rotate =: 1ad1 & * rad2deg =: (180p_1 & *) @ (1 & {) @ *.rotate函数在单位圆上逆时针旋转1弧度，而rad2deg绕极轴旋转一个用复数表示的三角度。
rad2deg (rotate^:3) 0j1 NB. angle of 0j1 after 3 degrees rotation 93 +. (rotate^:3) 0j1 NB. (x,y) coordinates on the unit circle _0.052336 0.99863 +/ *: +. (rotate^:3) 0j1 NB. distance from origin 1 +. rotate ^: (i. 10) 1j0 NB. points on the unit circle 1 0 0.999848 0.0174524 0.999391 0.0348995 0.99863 0.052336 0.997564 0.0697565 0.996195 0.0871557 0.994522 0.104528 0.992546 0.121869 0.990268 0.139173 0.987688 0.156434单位圆的绘制在数字3中展示：
'x y'=: |: +. rotate ^: (i. 360) 1j0 plot x;y Figure 3: 单位圆的绘制 \includegraphics[width=2.85417in]{circle-plot.eps}Howland [How 1998]经常使用递归的Fibonacci函数描述递归和迭代过程。在J语言中，递归Fibonacci 定义如下：
fibonacci =. monad define if. y. < 2 do. y. else. (fibonacci y. - 1) + fibonacci y. - 2 end. )使用 fibonacci 计算从0开始计算10个 fibonacci 整数：
fibonacci "0 i.110 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55Howland [ How 1998 ]也阐述了接续（即优先次序）的概念；在表达式中，一元表达式表示计算子表达式的结果
Given a compound expression e and a sub-expression f of e, the continuation of f in e is the computation in e, written as a monad, which remains to be done after first evaluating f. When the continuation of f in e is applied to the result of evaluating f, the result is the same as evaluating the expression e. Let c be the continuation of f in e. The expression e may then be written as c f. Continuations provide a ``factorization'' of expressions into two parts; f which is evaluated first and c which is later applied to the result of f. Continuations are helpful in the analysis of algorithms.用定义分析递归的fibonacci函数，fibonacci 每次递归都包含一个fibonacci函数。因此，至少有一次递归过程不是单个过程，fibonacci 函数的执行是一个递归过程。
定义一个一元函数fib_work，统计fibonacci的执行次数并作出评估。fib_work 是一个J语言定义的序列函数。
ib_work =. monad define if. y. < 2 do. 1 else. 1 + (fib_work y. - 1) + fib_work y. - 2 end. )应用fib_work计算从0到10整数递归的次数：
fib_work "0 i.11 1 1 3 5 9 15 25 41 67 109 177