点三角的测试

1.同方技术

判断三维空间中的点是否在一个三角形中，最简单的方法就是进行向量叉积运算，怎么，没懂？那就接着往下看，假设空间中由这样一个三角形，黄色区域代表三角形内部，如何判断空间中的任意一点是否在黄色区域中呢？ 或许你还没有想到比较简单快速的方法，再来看看下面的这张图，或许你会豁然开朗： 以上图为例，取三角形外的一点p，向量p-A与向量B-A的叉积的方向指向屏幕外；取三角形内的一点p’，向量p’-A与向量B-A的叉积方向指向屏幕，由此我们得出直线AB上方的点的矢量，与矢量B-A的叉积指向屏幕外，而直线AB下方的点的矢量，得到的叉积指向屏幕，这样我们利用叉积就能确定平面上的点位于直线AB的哪一侧。但是一般情况下，我们如何确定叉积应该指向那个方向呢，这时，我们发现点C还没用到，如果点p’再三角形的内部，那么p’与C应该位于直线AB的同侧，也就是两个点分别与向量B-A的叉积大方向是同一个方向。同样的方法，如果我们判断出点p’与A位于直线BC的同一侧，点p’与B位于直线AC的同一侧，那么就能保证点p’位于黄色区域内部，即位于三角形内部。代码实现也很简单：

function SameSide（p1，p2，a，b） cp1 = CrossProduct（ba，p1-a） cp2 = CrossProduct（ba，p2-a） if DotProduct（cp1，cp2）> = 0 return true else return false function PointInTriangle（ p，a，b，c） if SameSide（p，a，b，c）and SameSide（p，b，a，c ） and SameSide（p，c，a，b） return true else return false

对向量叉积知识不熟悉的同学，我在这里补充一下： 两向量a，b的叉积表示为axb，但要跟数学中的乘法区分开来！其表达式为： 两向量叉积axb同时垂直a，b： 这种重心方法简单有效，没有其他多余的运算。

2.重心技术

上面的方法核心就是确保点需要位于线的同一侧即可，它确实相当简单了。但是这就足够了吗，下面的重心技术不仅简单，而且执行速度更快！ 我们都知道三角形的三个点在空间中定义了一个平面，选择其中任意一个点，我们可以将平面上所有其他位置视为相对于该点。若选择点A为起点，以向量（C-A）和向量（B-A）作为基础向量，就可以表示平面上的任意一点，只需要从点A开始沿着（C-A）走一段距离，再沿着（B-A）走一段距离即可。 这样，平面上的任意一点的位置就可以描述为：

P = A + u *（C - A）+ v *（B - A）

这里需要注意的是，u和v应该大于0，当u <0或v <0时，表示我们走错了方向，这个点位于三角形之外；如果u >1或v >1,表示我们沿着一个方向走向了三角形之外；最后，如果u+v>1,我们再次越过了边缘BC离开三角形。 给定u和v，我们就可以很轻松的用上面的方程计算出点P，但是如何能根据给定的点P计算出u和v呢，我们接着往下看：

P = A + u *（C - A）+ v *（B - A）//原方程 （P - A）= u *（C - A）+ v *（B - A）//两者边同时减去A v2 = u * v0 + v * v1 //替换v0，v1，v2以减少写入 //我们有两个未知数（u和v）所以我们需要两个方程来解它们。在方程两边同时点乘v0得到第一个方程，然后在方程两边同时点乘v1得到第二个方程 (v2) . v0 = (u * v0 + v * v1) . v0 (v2) . v1 = (u * v0 + v * v1) . v1 //分配v0和v1 v2 . v0 = u * (v0 . v0) + v * (v1 . v0) v2 . v1 = u * (v0 . v1) + v * (v1 . v1) //现在我们有两个方程和两个未知数，可以解出一个变量并替换为另一个变量 求解 [v2.v0 == {u(v0.v0) + v(v1.v0), v2.v1 == u(v0.v1) + v(v1.v1)}, {u, v}] u = ((v1.v1)(v2.v0)-(v1.v0)(v2.v1)) / ((v0.v0)(v1.v1) - (v0.v1)(v1.v0)) v = ((v0.v0)(v2.v1)-(v0.v1)(v2.v0)) / ((v0.v0)(v1.v1) - (v0.v1)(v1.v0))

算法表示为：

// Compute vectors v0 = C - A v1 = B - A v2 = P - A // Compute dot products dot00 = dot(v0, v0) dot01 = dot(v0, v1) dot02 = dot(v0, v2) dot11 = dot(v1, v1) dot12 = dot(v1, v2) // Compute barycentric coordinates invDenom = 1 / (dot00 * dot11 - dot01 * dot01) u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * invDenom v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * invDenom // Check if point is in triangle return (u >= 0) && (v >= 0) && (u + v < 1)

参考

Point in triangle test

向量点积(Dot Product),向量叉积(Cross Product)