数值分析(5)-分段低次插值和样条插值

整理一下数值分析的笔记~ 目录：

1. 误差

2. 多项式插值与样条插值(THIS)

3. 函数逼近

4. 数值积分与数值微分

5. 线性方程组的直接解法

6. 线性方程组的迭代解法

7. 非线性方程求根

8. 特征值和特征向量的计算

9. 常微分方程初值问题的数值解

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1. 分段低次插值

1.1 高次插值的龙格现象

  龙格现象就是插值多项式不收敛现象，节点(插值多项式的次数)增加不会带来精度的改善，甚至可能增加误差。

1.2 分段低次插值

  插值时先把整个区间分成若干个小区间，每个区间上作低次插值，拼一个分段函数作插值函数。优点诸多但是缺点时节点处导数值不连续，这就产生了样条插值。

2. 三次样条插值

2.1 样条曲线的特点

点点通过 $\to$ 插值

光顺

计算简单

(对于低阶样条)保凸

2.2 三次样条

定义：设$a=x_0<x_1<...<x_n=b$，函数$S(x)\in C^2[a,b]$，且在每个$[x_i,x_{i+1}]$上为三次多项式，同时满足$S(x_i)=f(x_i),(i=0,1,...,n)$，则称f为三次样条插值函数。

{三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于其自身光滑除了端点外不需要知道f的导数值}

若S为f的三次样条插值函数:

$$S(x)=\{\begin{array}{ll}{S}_1(x),& x\in [x_0,x_1]\\ S_2(x),& x\in [x_1,x_2]\\ ...& \\ S_n(x),& x\in [x_{n-1},x_n]\end{array}$$

则$S_i(x)=a_{i0}+a_{i1}x+a_{i2}{x}^2+a_{i3}{x}^3,i=1,2,...,n$，也就是共有4n个待定系数，而已知条件只有4n-2个，即：

$$\begin{gathered} i=0,1,2,...,n时，S(x_i)=f(x_i) \\ i=1,2,...,n-1时，S(x_i^{-})=S(x_i^{+}), \\ {S}^{\prime }(x_i^{-})=S^{\prime }(x_i^{+})， \\ {S}^{\prime \prime }(x_i^{-})=S^{\prime \prime }(x_i^{+}) \end{gathered}$$

还需要两个才能确定最终的系数，通常是在区间端点a,b上各加一个条件即边界条件，由实际问题给出，常用的有三种类型：

给定两端点f(x)的一阶导数值$S^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0),S^{\prime }(x_n)=f^{\prime }(x_n)$

给定两端点f(x)的二阶导数值$S^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0),S^{\prime \prime }(x_n)=f^{\prime \prime }(x_n)$

f具有周期性，即：$S(x_0^{+})=S(x_n^{-}),S^{\prime }(x_0^{+})=S^{\prime }(x_n^{-}),S^{\prime \prime }(x_0^{+})=S^{\prime \prime }(x_n^{-})$

但是通过4n个方程得到4n个待定参数也只是理论上可行，实际计算量太大，由此提出两种简单的构造方法:

2.3 三转角法(从样条函数的一阶导数出发)

假定$S^{\prime }(x_j)=m_j(j=0,...,n)$，根据分段三次埃尔米特插值多项式：

$$\begin{gathered} S(x)=\sum _{j=0}^n[f_j{\alpha }_j(x)+m_j{\beta }_j(x)], \\ 其中{\alpha }_j(x)和{\beta }_j(x)为三次埃尔米塔插值基函数 \end{gathered}$$

由插值条件，连续性条件和边界条件可得关于$m_j$的三对角方程组，求出$m_j$,得到三次样条插值函数。

2.4 三弯矩法(从样条函数的二阶导数出发)

S在$[x_{i-1},x_i]$上为三次多项式，所以其二阶导数必为一次式。

设S(x)在节点$x_i$处的二阶导数为：$S^{\prime \prime }(x_i)=M_i(i=0,1,...,n)$，则$s^{\prime \prime }(x)$在此小区间上是x的线性函数，且因为$S^{\prime \prime }(x_{i-1})=M_{i-1},S^{\prime \prime }(x_i)=M_i$，用线性插值可得：

$$\begin{gathered} S_i^{\prime \prime }(x)=M_{i-1}\frac{x-x_i}{x_{i-1}-x_i}+ \\ {M}_i\frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}，x\in [x_{i-1},x_i] \\ 记h_i=x_i-x_{i-1},有 \\ {S}^{\prime \prime }(x)=M_{i-1}\frac{x_i-x}{h_i}+M_i\frac{x-x_{i-1}}{h_i} \\ 连续两次积分得 \\ {S}_i(x)=M_{i-1}\frac{(x_i-x{)}^3}{6h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1}{)}^3}{6h_i}+ \\ {A}_i(x_i-x)+B_i(x-x_{i-1}) \\ 由于S_i(x_{i-1})=f(x_{i-1})=y_{i-1}且 \\ {S}_i(x_i)=f(x_i)=y_i \\ 得：S_i(x_{i-1})=\frac{1}{6}{M}_{i-1}{h}_i^2+A_i{h}_i=y_{i-1} \\ {S}_i(x_i)=\frac{1}{6}{M}_i{h}_i^2+B_i{h}_i=y_i \\ 得：A_i=\frac{1}{h_i}\left(y_{i-1}+\frac{1}{6}{M}_{i-1}{h}_i^2\right) \\ {B}_i=\frac{1}{h_i}\left(y_i+\frac{1}{6}{M}_i{h}_i^2\right) \\ 代入得： \\ {S}_i(x)=M_{i-1}\frac{(x_i-x{)}^3}{6h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1}{)}^3}{6h_i}+ \\ \frac{1}{h_i}\left(y_{i-1}+\frac{1}{6}{M}_{i-1}{h}_i^2\right)(x_i-x)+ \\ \frac{1}{h_i}\left(y_i+\frac{1}{6}{M}_i{h}_i^2\right)(x-x_{i-1}),x\in [x_{i-1},x_i] \\ 其中M_0,M-1,...,M_n是待求的常数， \\ 可利用S^{\prime }(x_i-0)=S^{\prime }(x_i+0)求出M_i \end{gathered}$$

由于：

$$\begin{gathered} S_i(x)=M_{i-1}\frac{(x_i-x{)}^3}{6h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1}{)}^3}{6h_i}+ \\ \frac{1}{h_i}\left(y_{i-1}+\frac{1}{6}{M}_{i-1}{h}_i^2\right)(x_i-x)+ \\ \frac{1}{h_i}\left(y_i+\frac{1}{6}{M}_i{h}_i^2\right)(x-x_{i-1}),x\in [x_{i-1},x_i] \\ 求导，S_i^{\prime }(x)=-M_{i-1}\frac{(x_i-x{)}^2}{2h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1}{)}^2}{2h_i}+ \\ \frac{(y_i-y_{i-1})}{h_i}+\frac{h_i}{6}(M_i-M_{i-1}) \end{gathered}$$

由此得：

$$\begin{gathered} S_i^{\prime }(x_i-0)=\frac{h_i}{6}{M}_{i-1}+\frac{h_i}{3}{M}_i+\frac{y_i-y_{i-1}}{h_i} \\ {S}_i^{\prime }(x_{i-1}+0)=-\frac{h_i}{3}{M}_{i-1}-\frac{h_i}{6}{M}_i+\frac{y_i-y_{i-1}}{h_i} \\ 得S_{i+1}^{\prime }(x_i+0)=-\frac{h_{i+1}}{3}{M}_i-\frac{h_{i+1}}{6}{M}_{i+1}+\frac{y_{i+1}-y_i}{h_{i+1}} \end{gathered}$$

因为$S_i^{\prime }(x_i-0)=S_{i+1}^{\prime }(x_i+0)$可以求出参数$M_{i-1},M_i,M_{i+1}$的一个方程：

$$\begin{gathered} \frac{h_i}{6}{M}_{i-1}+\frac{h_i+h_{i+1}}{3}{M}_i+\frac{h_{i+1}}{6}{M}_{i+1}= \\ \frac{y_{i+1}-y_i}{h_{i+1}}+\frac{y_i-y_{i-1}}{h_i} \end{gathered}$$

两边同乘$\frac{6}{h_i+h_{i+1}}$，得方程：

$$\begin{gathered} \frac{h_i}{h_i+h_{i+1}}{M}_{i-1}+2M_i+\frac{h_{i+1}}{h_i+h_{i+1}}{M}_{i+1}= \\ \frac{6}{h_i+h_{i+1}}\left(f[x_i,x_{i+1}]-f[x_{i-1},x_i]\right) \end{gathered}$$

令：

$$\begin{gathered} {\mu }_i=\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}} \\ {\lambda }_i=\frac{h_{i+1}}{h_i+h_{i+1}}=1-{\mu }_i \\ {g}_i=\frac{6}{h_i+h_{i+1}}\left(f[x_i,x_{i+1}]-f[x_{i-1},x_i]\right) \\ =6f[x_{i-1},x_i,x_{i+1}] \end{gathered}$$

则方程可以简写为：${\mu }_i{M}_{i-1}+2M_i+{\lambda }_i{M}_{i+1}=g_i,i=1,2,...,n-1$，也就是共有n-1个方程，下面分三种边界条件依次讨论：

2.4.1 第一种边界条件，已知插值区间两端的一阶导数值

$$\begin{gathered} {\mu }_i=\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}},{\lambda }_i=\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}} \\ {g}_i=6f[x_{i-1},x_i,x_{i+1}], \\ {g}_0=\frac{6}{h_1}(f[x_0,x_1]-y_0^{\prime }), \\ {g}_n=\frac{6}{y_n^{\prime }-f[x_{n-1},x_n]} \end{gathered}$$

有三弯矩方程：

$$\left[\begin{array}{ccccc}2& 1& & & \\ {\mu }_1& 2& {\lambda }_1& & \\ ...& ...& ...& ...& ...\\ & & {\mu }_{n-1}& 2& {\lambda }_{n-1}\\ & & & 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{M}_0\\ M_1\\ ...\\ M_{n-1}\\ M_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{g}_0\\ g_1\\ ...\\ g_{n-1}\\ g_n\end{array}\right]$$

2.4.2 第二种边界条件：已知插值区间两端的二阶导数值

有三弯矩矩阵：

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccccc}2& {\lambda }_1& & & \\ {\mu }_2& 2& {\lambda }_2& & \\ ...& ...& ...& ...& ...\\ & & {\mu }_{n-2}& 2& {\lambda }_{n-2}\\ & & & {\mu }_{n-1}& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{M}_1\\ M_2\\ ...\\ M_{n-2}\\ M_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{g}_1-{\mu }_1{y}_0^{\prime \prime }\\ g_2\\ ...\\ g_{n-2}\\ g_{n-1}-{\lambda }_{n-1}{y}_n^{\prime \prime }\end{array}\right] \\ 且有自然边界条件：M_0=M_n=0 \end{gathered}$$

2.4.3 第三种边界条件

有三弯矩矩阵：

$$\left[\begin{array}{ccccc}2& {\lambda }_1& & & {\mu }_1\\ {\mu }_2& 2& {\lambda }_2& & \\ ...& ...& ...& ...& ...\\ & & {\mu }_{n-1}& 2& {\lambda }_{n-1}\\ {\lambda }_n& & & {\mu }_n& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{M}_1\\ M_2\\ ...\\ M_{n-1}\\ M_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{g}_1\\ g_2\\ ...\\ g_{n-1}\\ g_n\end{array}\right]$$

值得注意的是，上面三种条件中的线性方程组的系数矩阵都是非奇异的，因此有唯一解，三次样条函数由边界条件唯一确定。

eg.设$f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=1,f^{\prime \prime }(0)=1,f^{\prime \prime }(3=0)$，试求$f(x)$在区间[0,3]上的三次样条函数S(x).

解：由$M_0=y_0^{\prime \prime },M_n=y_n^{\prime \prime }$知$M_0=f^{\prime \prime }(0)=1,M_3=f^{\prime \prime }(3)=0$,构造差商表：

$x_i$$f(x_i)$一阶差商二阶差商0011120-1-13111

由：

$$\begin{gathered} {\mu }_i=\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}} \\ {\lambda }_i=\frac{h_{i+1}}{h_i+h_{i+1}}=1-{\mu }_i \\ {g}_i=\frac{6}{h_i+h_{i+1}}\left(f[x_i,x_{i+1}]-f[x_{i-1},x_i]\right) \\ =6f[x_{i-1},x_i,x_{i+1}] \end{gathered}$$

得${\mu }_1=0.5,u{\mu }_2=0.5,{\lambda }_1={\lambda }_2=0.5,g_1=-6,g_2=6$,第二边界条件的三弯矩方程为：

$$\left[\begin{array}{ccccc}2& {\lambda }_1& & & \\ {\mu }_2& 2& {\lambda }_2& & \\ ...& ...& ...& ...& ...\\ & & {\mu }_{n-2}& 2& {\lambda }_{n-2}\\ & & & {\mu }_{n-1}& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{M}_1\\ M_2\\ ...\\ M_{n-2}\\ M_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{g}_1-{\mu }_1{y}_0^{\prime \prime }\\ g_2\\ ...\\ g_{n-2}\\ g_{n-1}-{\lambda }_{n-1}{y}_n^{\prime \prime }\end{array}\right]$$

得：

$$\left[\begin{array}{cc}2& 0.5\\ 0.5& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{M}_1\\ M_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-6-0.5\\ 6\end{array}\right]$$

解得$M_1=\frac{-64}{15},M_2=\frac{61}{15}$

因为：

$$\begin{gathered} S_i(x)=M_{i-1}\frac{(x_i-x{)}^3}{6h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1}{)}^3}{6h_i}+ \\ \frac{1}{h_i}\left(y_{i-1}+\frac{1}{6}{M}_{i-1}{h}_i^2\right)(x_i-x)+ \\ \frac{1}{h_i}\left(y_i+\frac{1}{6}{M}_i{h}_i^2\right)(x-x_{i-1}),x\in [x_{i-1},x_i] \end{gathered}$$

将$h_i=1,M_0=1,M_1,M_2$代入可得：

$$\begin{gathered} x\in [0,1],S_1(x)=\frac{1}{90}(-79x^2+45x^3+124x) \\ x\in [1,2],S_2(x)=\frac{1}{90}(125x^3-567x^2+736x-204) \\ x\in [2,3],S_3(x)=\frac{1}{90}(-61x^3+549x^2-1496x+1284) \end{gathered}$$

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