李宏毅机器学习4(P8)

文章目录

一. 从基础概率推导贝叶斯公式，朴素贝叶斯公式(1)1.1基本概率公式 1.2贝叶斯公式1.3朴素贝叶斯公式二. 学习先验概率(2)三. 学习后验概率(3)四. 学习LR和linear regression之间的区别(4)五. 推导sigmoid function公式(5)参考文献

一. 从基础概率推导贝叶斯公式，朴素贝叶斯公式(1)

1.1基本概率公式

我们先交待基本概率公式： 设A,B是两个事件，且P(B)>0，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability）： $$P(A|B)=P(AB)/P(B),\text{\hspace{1em}(1)}$$ 由条件概率（1）得到乘法公式： $$P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A),\text{\hspace{1em}(2)}$$ 乘法公式的推广：对于任何正整数$n\ge 2$，当$P\left(A_1{A}_2\dots A_{n-1}\right)>0$时，有： $$\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\dots {\mathrm{A}}_{\mathrm{n}-1}{\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}\right)=\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_1\right)\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_2|{\mathrm{A}}_1\right)\mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_3|{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\right)\dots \mathrm{P}\left({\mathrm{A}}_{\mathrm{n}}|{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\dots {\mathrm{A}}_{\mathrm{n}-1}\right)\text{\hspace{1em}(3)}$$ 从而可以推导出全概率公式： 如果事件组$B_1$，$B_2$，…满足 1.$B_1$，$B_2$，…两两互斥，即$B_i\cap B_j=\varnothing$，$i不等于j$，i,j=1,2,…,且$P(B_i)>0,i=1,2,...;$ 2.${\mathrm{B}}_1\cup {\mathrm{B}}_2\cup \dots =\Omega$，则称事件组$B_1$，$B_2$，…是样本空间$\Omega$的一个划分 设$B_1$，$B_2$，…是样本空间$\Omega$的一个划分，A为任一事件，则： $$P(A)=\sum _{i=1}^{\infty }P\left(B_i\right)P\left(A|B_i\right),\text{\hspace{1em}(4)}$$

1.2贝叶斯公式

1.与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件$B_i$的概率），设$B_1$，$B_2$，…是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有 $$P\left(B_i|A\right)=\frac{P(A{B}_i)}{P(A)}=\frac{P\left(B_i\right)P\left(A|B_i\right)}{{\sum }_{j=1}^{n}P\left(B_j\right)P\left(A|B_j\right)},\text{\hspace{1em}(5)}$$

1.3朴素贝叶斯公式

这个是来自李航统计学习方法。 如果按照李宏毅老师的做法

二. 学习先验概率(2)

为了很好的说明这个问题，在这里举一个例子： 玩英雄联盟占到中国总人口的60%，不玩英雄联盟的人数占到40%：

为了便于数学叙述，这里我们用变量X来表示取值情况，根据概率的定义以及加法原则，我们可以写出如下表达式：

P(X=玩lol)=0.6；P(X=不玩lol)=0.4，这个概率是统计得到的，即X的概率分布已知，我们称其为先验概率(prior probability)；

三. 学习后验概率(3)

另外玩lol中80%是男性，20%是小姐姐,不玩lol中20%是男性，80%是小姐姐,这里我用离散变量Y表示性别取值，同时写出相应的条件概率分布：、 P(Y=男性|X=玩lol)=0.8，P(Y=小姐姐|X=玩lol)=0.2

P(Y=男性|X=不玩lol)=0.2，P(Y=小姐姐|X=不玩lol)=0.8 那么我想问在已知玩家为男性的情况下，他是lol玩家的概率是多少：

依据贝叶斯公式(5)可得：

P(X=玩lol|Y=男性)=P(X=玩lol, Y=男性)/P(Y=男性) =P(Y=男性|X=玩lol)*P(X=玩lol)/ [ P(Y=男性|X=玩lol)*P(X=玩lol)+P(Y=男性|X=不玩lol)*P(X=不玩lol)] 这个概率就是后验概率。

四. 学习LR和linear regression之间的区别(4)

个人感觉逻辑回归和线性回归首先都是广义的线性回归， 其次经典线性模型的优化目标函数是最小二乘，而逻辑回归则是似然函数。 逻辑回归是分类算法，llinear regression是回归算法 两者前面的公式一样，逻辑回归后续会加上激活函数，让输出限制在0到1之间，这样可以更小的减少异常点的干扰，鲁班性更好

五. 推导sigmoid function公式(5)

先给出sigmoid funciton的公式： $$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$ 这个公式我们只知道怎么用，却不知道它怎么来的，也没有底层的含义。我就搬了同学的解答来说明： 首先假设我们有两个class：class1和class2，并且给出一个sample x，我们的目标是求x属于C1的概率是多少。 这个我们可以贝叶斯公式(5)来轻松得到，也就是： $$P\left(C_1|x\right)=\frac{P\left(x|C_1\right)P\left(C_1\right)}{P(x)}$$ 其中： $$P(x)=P\left(x|C_1\right)P\left(C_1\right)+P\left(x|C_2\right)P\left(C_2\right)$$ 把公式带到公式分母中： $$P\left(C_1|x\right)=\frac{P\left(x|C_1\right)P\left(C_1\right)}{P\left(x|C_1\right)P\left(C_1\right)+P\left(x|C_2\right)P\left(C_2\right)}$$ 然后同时除以分子就变成了： $$P\left(C_1|x\right)=\frac{1}{1+\frac{P\left(x|C_2\right)P\left(C_2\right)}{P\left(x|C_1\right)P\left(C_1\right)}}$$ 设： $$z=\ln \frac{P\left(x|C_1\right)P\left(C_1\right)}{P\left(x|C_2\right)P\left(C_2\right)}$$ 把z带入公式，可以得到： $$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$ 我基本照搬，而且那个链接还有更加详细的解释，我就不在赘述。

参考文献

https://zhuanlan.zhihu.com/p/26464206 https://www.julyedu.com/question/big/kp_id/23/ques_id/983 https://blog.csdn.net/Crafts_Neo/article/details/90520609 https://blog.csdn.net/chixujohnny/article/details/78639554