简单几何变换

几何表示2D几何变换translation 平移rotation+transform （平移+旋转）刚性变换Similarity相似变换(旋转+按比缩放+平移)Affine放射变换projective 投影影变换(透视变换、同态映射) 3D几何变换 几何变换就是空间变换，是图形学的基础算法，在计算机视觉中应用也比较广泛。本文就简单介绍集中基础几何变换

几何表示

2D几何变换

“名场面”如下图：2D 平面基本变换

translation 平移

$x^{{}^{\prime }}=x+t_x$ $x^{{}^{\prime }}=x+t_y$ 矩阵形式: $$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

rotation+transform （平移+旋转）刚性变换

$x^{{}^{\prime }}=xcos\theta -ysin\theta +t_x$ $y^{{}^{\prime }}=xcos\theta +ysin\theta +t_y$ 矩阵形式： $$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & -sin\theta & t_x\\ sin\theta & cos\theta & t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$ 进一步可表示为： $$\left[\begin{array}{c}{P}^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}P\\ 1\end{array}\right]$$ 由上式子可得，改变换共有3个自由度

Similarity相似变换(旋转+按比缩放+平移)

$x^{{}^{\prime }}=sxcos\theta -sysin\theta +t_x$ $y^{{}^{\prime }}=sxcos\theta +sysin\theta +t_y$ 矩阵形式： $$\left[\begin{array}{c}{P}^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}sR& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}P\\ 1\end{array}\right]$$ 相似变换保持夹角不变 改变换共有，4个自由度

Affine放射变换

基本性质保持不变：

共线性平行性共线比例不变性凸性 矩阵形式： $$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& t_x\\ a_3& a_4& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$ 共有6个自由度

projective 投影影变换(透视变换、同态映射)

8个自由度，保持共线性 $$\left[\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }}\\ y^{{}^{\prime }}\\ w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{h}_{00}& h_{01}& h_{02}\\ h_{10}& h_{11}& h_{12}\\ h_{20}& h_{21}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$ $x^{{}^{\prime }}=\frac{x^{{}^{\prime }}}{w}$ $y^{{}^{\prime }}=\frac{y^{{}^{\prime }}}{w}$

变换矩阵自由度不变性平移[I | t]2方向刚性[R | t]3长度相似[sR | t]4夹角仿射[A]6平行性投影[H]8直线型

3D几何变换

变换矩阵自由度不变性平移[I | t]3方向刚性[R | t]6长度相似[sR | t]7夹角仿射[A]12平行性投影[H]15直线型