1、四个概念：“地理”坐标系、“机体”坐标系、他们之间换算公式、换算公式用的系数。地理坐标系：东、北、天，以下简称地理。在这个坐标系里有重力永远是（0,0,1g），地磁永远是（0,1,x）（地磁的垂直不关心）两个三维向量。机体坐标系：以下简称机体，上面有陀螺、加计、电子罗盘传感器，三个三维向量。换算公式：以下简称公式，公式就是描述机体姿态的表达方法，一般都是用以地理为基准，从地理换算到机体的公式，有四元数、欧拉角、方向余弦矩阵。换算公式的系数：以下简称系数，四元数的q0123、欧拉角的ROLL/PITCH/YAW、余弦矩阵的9个数。系数就是描述机体姿态的表达方法的具体数值。姿态，其实就是公式+系数的组合，一般经常用人容易理解的公式“欧拉角”表示，系数就是横滚xx度俯仰xx度航向xx度。2、五个数据源：重力、地磁、陀螺、加计、电子罗盘，前两个来自地理，后三个来自机体。3、陀螺向量：基于机体，也在机体上积分，因为地理上无参考数据源，所以很独立，直接在公式的老系数上积分，得到新系数。狭义上的捷联惯导算法，就是指这个陀螺积分公式，也分为欧拉角、方向余弦矩阵、四元数，他们的积分算法有增量法、数值积分法（X阶龙格-库塔）等等4、加计向量、重力向量：加计基于机体，重力基于地理，重力向量（0,0,1g）用公式换算到机体，与机体的加计向量算出误差。理论上应该没有误差，这误差逆向思维一下，其实就是换算公式的系数误差。所以这误差可用于纠正公式的系数（横滚、俯仰），也就是姿态。5、电子罗盘向量、地磁向量：同上，只不过要砍掉地理上的垂直向量，因为无用。只留下地理水平面上的向量。误差可以用来纠正公式的系数（航向）。6、就这样，系数不停地被陀螺积分更新，也不停地被误差修正，它和公式所代表的姿态也在不断更新。如果积分和修正用四元数算法（因为运算量较少、无奇点误差），最后用欧拉角输出控制PID（因为角度比较直观），那就需要有个四元数系数到欧拉角系数的转换。常用的三种公式，它们之间都有转换算法。再搞个直白一点的例子：机体好似一条船，地理就是那地图，姿态就是航向（船头在地图上的方位），重力和地磁是地图上的灯塔，陀螺/积分公式是舵手，加计和电子罗盘是瞭望手。舵手负责估计和把稳航向，他相信自己，本来船向北开的，就一定会一直往北开，觉得转了90度弯，那就会往东开。当然如果舵手很牛逼，也许能估计很准确，维持很长时间。不过只信任舵手，肯定会迷路，所以一般都有地图和瞭望手来观察误差。瞭望手根据地图灯塔方位和船的当前航向，算出灯塔理论上应该在船的X方位。然而看到实际灯塔在船的Y方位，那肯定船的当前航向有偏差了，偏差就是ERR=X-Y。舵手收到瞭望手给的ERR报告，觉得可靠，那就听个90%*ERR，觉得天气不好、地图误差大，那就听个10%*ERR，根据这个来纠正估算航向。。------------------------------------------------------来点干货，注意以下的欧拉角都是这样的顺序：先航向-再俯仰-然后横滚公式截图来自：袁信、郑锷的《捷联式惯性导航原理》，邓正隆的《惯性技术》。-------------------------------------------------- 根据加计计算初始欧拉角这个无论欧拉角算法还是四元数算法还是方向余弦矩阵都需要，因为加计和电子罗盘给出欧拉角的描述方式比较方便。imu.euler.x = atan2(imu.accel.y, imu.accel.z);imu.euler.y = -asin(imu.accel.x / ACCEL_1G);ACCEL_1G 为9.81米/秒^2，accel.xyz的都为这个单位，算出来的euler.xyz单位是弧度航向imu.euler.z可以用电子罗盘计算-------------------------------------------------- 欧拉角微分方程如果用欧拉角算法，那么这个公式就够了，不需要来回转换。矩阵上到下三个角度（希腊字母）是roll pitch和yaw，公式最左边的上面带点的三个是本次更新后的角度，不带点的是上个更新周期算出来的角度。Wx,y,z是roll pitch和yaw方向的三个陀螺在这个周期转动过的角度，单位为弧度，计算为间隔时间T*陀螺角速度,比如0.02秒*0.01弧度/秒=0.0002弧度.-------------------------------------------------- 以下是四元数-------------------------------------------------- 四元数初始化q0-3为四元数四个值,用最上面公式根据加计计算出来的欧拉角来初始化-------------------------------------------------- 四元数微分方程四元数更新算法，一阶龙库法，同样4个量（入、P1-3）也为四元数的四个值,即上面的q0-3。Wx,y,z是三个陀螺的这个周期的角速度，比如欧拉角微分方程中的0.01弧度/秒，T为更新周期,比如上面的0.02秒。再来一张，另外一本书上的，仔细看和上面是一样的delta角度，就是上面的角速度*周期，单位为弧度--------------------------------------------------四元数微分方程更新后的规范化每个周期更新完四元数，需要对四元数做规范化处理。因为四元数本来就定义为四维单位向量。求q0-3的平方和，再开根号算出的向量长度length。然后每个q0-3除这个length。-------------------------------------------------- 四元数转欧拉角公式把四元数转成了方向余弦矩阵中的几个元素，再用这几个元素转成了欧拉角先从四元数q0-3转成方向余弦矩阵：再从方向余弦矩阵转成欧拉角代码： //更新方向余弦矩阵 t11=q.q0*q.q0+q.q1*q.q1-q.q2*q.q2-q.q3*q.q3; t12=2.0*(q.q1*q.q2+q.q0*q.q3); t13=2.0*(q.q1*q.q3-q.q0*q.q2); t21=2.0*(q.q1*q.q2-q.q0*q.q3); t22=q.q0*q.q0-q.q1*q.q1+q.q2*q.q2-q.q3*q.q3; t23=2.0*(q.q2*q.q3+q.q0*q.q1); t31=2.0*(q.q1*q.q3+q.q0*q.q2); t32=2.0*(q.q2*q.q3-q.q0*q.q1); t33=q.q0*q.q0-q.q1*q.q1-q.q2*q.q2+q.q3*q.q3; //求出欧拉角 imu.euler.roll = atan2(t23,t33); imu.euler.pitch = -asin(t13); imu.euler.yaw = atan2(t12,t11); if (imu.euler.yaw < 0){ imu.euler.yaw += ToRad(360); }---------------------------------------------------- 以下代码摘自网上，很巧妙，附上注释，有四元数微分，有加计耦合。 没电子罗盘，其实耦合原理也一样。
//===================================================================================================== // IMU.c // S.O.H. Madgwick // 25th September 2010 //===================================================================================================== // Description: // // Quaternion implementation of the 'DCM filter' [Mayhony et al]. // // User must define 'halfT' as the (sample period / 2), and the filter gains 'Kp' and 'Ki'. // // Global variables 'q0', 'q1', 'q2', 'q3' are the quaternion elements representing the estimated // orientation. See my report for an overview of the use of quaternions in this application. // // User must call 'IMUupdate()' every sample period and parse calibrated gyroscope ('gx', 'gy', 'gz') // and accelerometer ('ax', 'ay', 'ay') data. Gyroscope units are radians/second, accelerometer // units are irrelevant as the vector is normalised. // //===================================================================================================== //---------------------------------------------------------------------------------------------------- // Header files #include "IMU.h" #include <math.h> //---------------------------------------------------------------------------------------------------- // Definitions #define Kp 2.0f // proportional gain governs rate of convergence to accelerometer/magnetometer #define Ki 0.005f // integral gain governs rate of convergence of gyroscope biases #define halfT 0.5f // half the sample period //--------------------------------------------------------------------------------------------------- // Variable definitions float q0 = 1, q1 = 0, q2 = 0, q3 = 0; // quaternion elements representing the estimated orientation float exInt = 0, eyInt = 0, ezInt = 0; // scaled integral error //==================================================================================================== // Function //==================================================================================================== void IMUupdate(float gx, float gy, float gz, float ax, float ay, float az) { float norm; float vx, vy, vz; float ex, ey, ez; // normalise the measurements norm = sqrt(ax*ax + ay*ay + az*az); ax = ax / norm; ay = ay / norm; az = az / norm; 把加计的三维向量转成单位向量。 // estimated direction of gravity vx = 2*(q1*q3 - q0*q2); vy = 2*(q0*q1 + q2*q3); vz = q0*q0 - q1*q1 - q2*q2 + q3*q3; 这是把四元数换算成《方向余弦矩阵》中的第三列的三个元素。 根据余弦矩阵和欧拉角的定义，地理坐标系的重力向量，转到机体坐标系，正好是这三个元素。 所以这里的vx\y\z，其实就是当前的欧拉角（即四元数）的机体坐标参照系上，换算出来的重力单位向量。 // error is sum of cross product between reference direction of field and direction measured by sensor ex = (ay*vz - az*vy); ey = (az*vx - ax*vz); ez = (ax*vy - ay*vx); axyz是机体坐标参照系上，加速度计测出来的重力向量，也就是实际测出来的重力向量。 axyz是测量得到的重力向量，vxyz是陀螺积分后的姿态来推算出的重力向量，它们都是机体坐标参照系上的重力向量。 那它们之间的误差向量，就是陀螺积分后的姿态和加计测出来的姿态之间的误差。 向量间的误差，可以用向量叉积（也叫向量外积、叉乘）来表示，exyz就是两个重力向量的叉积。 这个叉积向量仍旧是位于机体坐标系上的，而陀螺积分误差也是在机体坐标系，而且叉积的大小与陀螺积分误差成正比，正好拿来纠正陀螺。（你可以自己拿东西想象一下）由于陀螺是对机体直接积分，所以对陀螺的纠正量会直接体现在对机体坐标系的纠正。 // integral error scaled integral gain exInt = exInt + ex*Ki; eyInt = eyInt + ey*Ki; ezInt = ezInt + ez*Ki; // adjusted gyroscope measurements gx = gx + Kp*ex + exInt; gy = gy + Kp*ey + eyInt; gz = gz + Kp*ez + ezInt; 用叉积误差来做PI修正陀螺零偏 // integrate quaternion rate and normalise q0 = q0 + (-q1*gx - q2*gy - q3*gz)*halfT; q1 = q1 + (q0*gx + q2*gz - q3*gy)*halfT; q2 = q2 + (q0*gy - q1*gz + q3*gx)*halfT; q3 = q3 + (q0*gz + q1*gy - q2*gx)*halfT; 四元数微分方程 // normalise quaternion norm = sqrt(q0*q0 + q1*q1 + q2*q2 + q3*q3); q0 = q0 / norm; q1 = q1 / norm; q2 = q2 / norm; q3 = q3 / norm; 四元数规范化 } //==================================================================================================== // END OF CODE //====================================================================================================
