【算法导论】三门问题-蒙提霍尔问题

题目

如果你是游戏参与者，游戏的奖品放在三个幕布的其中一个后面，如果你选择了一个幕布，但在你掀起幕布前， 主持人掀起了其他两个幕布之一，使你知道那个幕布里面是空的，并询问你是否愿意改选剩下的那个幕布，中奖的机会将会如何变化，仍然是$\frac{1}{3}$吗？

来源

这是今日头条2019年算法选拔赛的一个题目。碰巧考完第二天，巧合看见了这个解读文章

常见的所谓 ‘错误’ 答案

当时我直接选的$\frac{1}{2}$，但为什么这么想呢？

因为主持人揭开的肯定没有奖品，那么参赛人员的选择其实只有两个，一个有奖品，一个无奖品，最终获奖的结果是$\frac{1}{2}$

错在哪里

前提是主持人并不是随机揭开幕布的，主持人是知道答案的，这个前提并不是几分之一的概率问题。 如果选中的是答案，那么主持人随机选一个打开。 如果没有选中答案，主持人打开的肯定是没有奖品的。

思考1

笨方法，一个一个分析： 放在具体情境里：

1 门是答案 A：选1门，主持人随便打开剩下一门 $P(A)=\frac{1}{3}\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$ 此时有$\frac{1}{6}$的概率选到奖品 B：选2(3)门，主持人打开3(2)门 $P(B)=\frac{2}{3}\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$ 此时有$\frac{1}{3}$的概率选到奖品

最后获奖的概率是$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$

思考2

一定选择换，那么获奖的概率是

$P(C)=\frac{1}{3}\ast 0+\frac{2}{3}\ast 1=\frac{2}{3}$

一定选择不换，那么获奖的概率

$P(D)=\frac{1}{3}\ast 1+\frac{2}{3}\ast 0=\frac{1}{3}$

加上换或者不换概率为$\frac{1}{2}$ 则最后获奖的概率是：

$P=P(C)\ast \frac{1}{2}+P(D)\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

题目问的是加了这个规则之后， 获奖的概率改变了多少？ 答案为概率增加了$\frac{1}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$