模型假设： 假设中国2013年各地区人均现金消费支出与工资性收入、其他收入之间的关系为: Y = β 0 =\beta_0 =β0+ β 1 X 1 \beta_1X_1 β1X1+ β 2 X 2 \beta_2X_2 β2X2+ μ \mu μ 通过 p y t h o n python python的 s t a t s m o d e l s statsmodels statsmodels库对数据进行回归计算：
import statsmodels.api as sm import seaborn as sns import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import pandas as pd from sklearn import model_selection data = pd.read_excel(r'./计量经济学数据.xlsx', sheet_name='Sheet1') fit = sm.formula.ols(formula='现金消费支出Y ~ 工资性收入X1 + 其他收入X2', data=data).fit() print(fit.summary()) sns.lmplot(x='工资性收入X1', y='现金消费支出Y', data=data, ci=None) plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False plt.show() sns.pairplot(data.loc[:, ['现金消费支出Y', '工资性收入X1', '其他收入X2']]) # 显示图形 plt.show()
模型检验： H 0 : β j = 0 H_0:\beta_j=0 H0:βj=0 H 1 : β j H_1:\beta_j H1:βj不全部为零
拟合优度检验: 从回归估计来看,模型拟合较好，可决系数 R 2 = 0.922. R^{2}=0.922. R2=0.922. F检验: F值为166.6，查表得 F α ( k , n − k − 1 ) = 3.34 F_{\alpha}(k,n-k-1)=3.34 Fα(k,n−k−1)=3.34，其中k=2，n=31，显然有 F > F α ( k , n − k − 1 ) F>F_{\alpha}(k,n-k-1) F>Fα(k,n−k−1)，表明模型的线性关系在5%的显著水平下显著成立.所以拒绝原假设。 t检验: ∣ t 1 ∣ = 8.448 , ∣ t 2 ∣ = 5.772 , t α / 2 ( n − k − 1 ) = 2.048 \left|t_1\right|=8.448,\left|t_2\right|=5.772,t_{\alpha/2}(n-k-1)=2.048 ∣t1∣=8.448,∣t2∣=5.772,tα/2(n−k−1)=2.048 由于 ∣ t ∣ > t α / 2 ( n − k − 1 ) \left|t\right|>t_{\alpha/2}(n-k-1) ∣t∣>tα/2(n−k−1)，所以拒绝零假设. 综上可得中国2013年各地区人均现金消费支出与工资性收入、其他收入之间的关系为： Y = 2599.1455 + 0.4865 X 1 + 0.6017 X 2 Y=2599.1455+0.4865X_1+0.6017X_2 Y=2599.1455+0.4865X1+0.6017X2 β 1 < β 2 \beta_1<\beta_2 β1<β2即其他收入对人均现金消费支出的贡献率要大于工资性收入。(此处有疑问，难道大家都靠外快过活吗？)
有时建立完模型并对其进行检验后，还需观察实际值和预测值具体情况，以确定模型的可用性。
data4 = pd.read_excel(r'./计量经济学数据.xlsx', sheet_name='Sheet1') train, test = model_selection.train_test_split(data4, test_size=0.2, random_state=1234) fit4 = sm.formula.ols(formula='现金消费支出Y ~ 工资性收入X1 + 其他收入X2', data=train).fit() test_X = test.drop(labels='现金消费支出Y', axis=1) pred = fit4.predict(exog=test_X) print('对比预测值和实际值：\n', pd.DataFrame({'prediction': pred, 'real': test.现金消费支出Y})) 对比预测值和实际值： prediction real 7 13874.648201 14161.7 10 25068.272118 23257.2 4 16645.508042 19249.1 1 21539.239415 21711.9 29 15077.077324 15321.1 8 28477.482744 28155.0 3 15073.999588 13166.2由预测值和实际值对比可以看出，有的预测值和实际值相差比较大，但总体上来说预测值与实际值比较接近，也就一定程度上说明了这个模型的可用性。
模型假设：
由Cobb-Dauglas生产函数 Y = A K β 1 L β 2 Y=AK^{\beta1}L^{\beta2} Y=AKβ1Lβ2，A代表既定的工程技术水平， β 1 \beta_1 β1、 β 2 \beta_2 β2分别为资本与劳动投入的产出弹性，当 β 1 + β 2 = 1 时 \beta_1+\beta_2=1时 β1+β2=1时，当大于1或小于1时，表明规模收益递增或递减。为了便于比较，下面将会对此模型进行线性变换，即假设2010年中国制造业各行业的总产出及要素投入的关系为： Y = β 0 + β 1 log K + β 2 log L + μ Y=\beta_0+\beta_1\log K+\beta_2\log L+\mu Y=β0+β1logK+β2logL+μ
data2 = pd.read_excel(r'./计量经济学数据.xlsx', sheet_name='Sheet2') fit2 = sm.formula.ols(formula='np.log(工业总产值) ~ np.log(资本投入) + np.log(年均从业人员)', data=data2).fit() fit2.summary() sns.pairplot(data2.loc[:, ['工业总产值', '资本投入', '年均从业人员']]) plt.show()模型检验：
H 0 : β j = 0 H_0:\beta_j=0 H0:βj=0 H 1 : β j H_1:\beta_j H1:βj不全部为零 拟合优度检验: 从回归估计来看,模型拟合较好，可决系数 R 2 = 0.941. R^{2}=0.941. R2=0.941. F检验: F值为286.3，查表得 F α ( k , n − k − 1 ) = 3.26 F_{\alpha}(k,n-k-1)=3.26 Fα(k,n−k−1)=3.26，其中 k = 2 k=2 k=2， n = 39 n=39 n=39，显然有 F > F α ( k , n − k − 1 ) F>F_{\alpha}(k,n-k-1) F>Fα(k,n−k−1)，表明模型的线性关系在5%的显著水平下显著成立.所以拒绝原假设。 t检验: ∣ t 1 ∣ = 8.344 , ∣ t 2 ∣ = 3.395 , t α / 2 ( n − k − 1 ) = 2.036 \left|t_1\right|=8.344,\left|t_2\right|=3.395,t_{\alpha/2}(n-k-1)=2.036 ∣t1∣=8.344,∣t2∣=3.395,tα/2(n−k−1)=2.036 由于 ∣ t ∣ > t α / 2 ( n − k − 1 ) \left|t\right|>t_{\alpha/2}(n-k-1) ∣t∣>tα/2(n−k−1)，所以拒绝零假设. 综上可得2010年中国制造业各行业的总产出及要素投入的关系为： Y = 1.8003 + 0.6778 log K + 0.2911 log L ， 0.6778 + 0.2911 = 0.9689 Y=1.8003+0.6778\log K+0.2911\log L，0.6778+0.2911=0.9689 Y=1.8003+0.6778logK+0.2911logL，0.6778+0.2911=0.9689，以上结果表明，在2010年，中国工业总产出关于资本投入的产出弹性为0.6778，表明当其他因素不变时，工业的资本每增加1%，总产出将增加0.6778%，同样地，当其他因素不变时，劳动力投入每增长1%，总产出将增加0.2911%，可见，资本投入的增加对工业总产出的增长起到了更大的作用。
在一些数据中，通常会有一些变量无法通过量化来进行处理，但是这些变量往往对模型结果产生较大的影响，所以，这类因素是无法被丢弃的，因此引入了“虚拟变量”，又叫做哑变量，来进行“量化处理”。下面我们将会以城镇居民为基准线对2013年中国农村与城镇居民家庭人均工资收入、其他收入和生活消费支出进行模型建立。 假设模型为： Y = α 0 + α 1 X 1 + α 2 X 2 + C Y=\alpha_0+\alpha_1X_1+\alpha_2X_2+C Y=α0+α1X1+α2X2+C
data3 = pd.read_excel(r'./计量经济学数据.xlsx', sheet_name='Sheet3') fit3 = sm.formula.ols(formula='生活消费 ~ 工资收入 + 其他收入 + C(农村or城镇)', data=data3).fit() fit3.summary()模型检验：
H 0 : β j = 0 H_0:\beta_j=0 H0:βj=0 H 1 : β j H_1:\beta_j H1:βj不全部为零 拟合优度检验: 从回归估计来看,模型拟合较好，可决系数 R 2 = 0.975. R^{2}=0.975. R2=0.975. F检验: F值为758.1，查表得 F α ( k , n − k − 1 ) = 4.16 F_{\alpha}(k,n-k-1)=4.16 Fα(k,n−k−1)=4.16，其中k=3，n=62，显然有 F > F α ( k , n − k − 1 ) F>F_{\alpha}(k,n-k-1) F>Fα(k,n−k−1)，表明模型的线性关系在5%的显著水平下显著成立.所以拒绝零假设。 t检验: ∣ t 1 ∣ = 0.291 , ∣ t 2 ∣ = 13.978 , , ∣ t 3 ∣ = 7.666 ， t α / 2 ( n − k − 1 ) = 2.010 \left|t_1\right|=0.291,\left|t_2\right|=13.978,,\left|t_3\right|=7.666，t_{\alpha/2}(n-k-1)=2.010 ∣t1∣=0.291,∣t2∣=13.978,,∣t3∣=7.666，tα/2(n−k−1)=2.010 由 于 ∣ t ∣ > t α / 2 ( n − k − 1 ) 由于\left|t\right|>t_{\alpha/2}(n-k-1) 由于∣t∣>tα/2(n−k−1)，所以拒绝零假设. 综上可得2013年中国农村与城镇居民家庭人均工资收入、其他收入和生活消费支出的关系为： Y = 1783.7377 + 0.5477 X 1 + 0.5589 X 2 + 140.8608 Y=1783.7377+0.5477X_1+0.5589X_2+140.8608 Y=1783.7377+0.5477X1+0.5589X2+140.8608城镇居民， 以上结果表明，当其他因素不变时，中国城镇居民平均消费支出比农村居民平均消费水平多140.8608元。
在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对自变量之间的关系进行约束，比如两个回归系数 β 1 \beta_1 β1和 β 2 \beta_2 β2之间的约束条件使得 β 1 + β 2 = 1 \beta_1+\beta_2=1 β1+β2=1或者使得 β 1 = β 2 \beta_1=\beta_2 β1=β2，此时称为此回归模型为受约束回归。
首先建立无约束回归模型 即： l n ( Q ) = β 0 + β 1 l n ( X / P 0 ) + β 2 ( P 1 / P ) + β 3 ( P 2 / P ) + β 4 P 01 + β 5 P 02 + β 6 P 03 ln(Q)=\beta_0+\beta_1ln(X/P_0)+\beta_2(P_1/P)+\beta_3(P_2/P)+\beta_4P_{01}+\beta_5P_{02}+\beta_6P_{03} ln(Q)=β0+β1ln(X/P0)+β2(P1/P)+β3(P2/P)+β4P01+β5P02+β6P03
import statsmodels.api as sm data4 = pd.read_excel(r'./计量经济学数据.xlsx', sheet_name='Sheet4') Q = data4["蛋类消费量Q（千克）"] X = data4["人均消费支出X（元）"] P0 = data4["居民消费价格指数P0"] P = data4["蛋类P（价格指数）"] P1 = data4["肉禽类P1（价格指数）"] P2 = data4["水产类P2（价格指数）"] P01 = data4["粮食P3（价格指数）"] P02 = data4["油脂P4（价格指数）"] P03 = data4["蔬菜P5（价格指数）"] df = pd.DataFrame({"log(X/P0)":np.log(X/P0), "P1/P":P1/P, "P2/P":P2/P, "P01":P01, "P02":P02, "P03":P03},) df = sm.add_constant(df) fit = sm.OLS(np.log(Q),df).fit() fit.summary()模型检验： H 0 : β j = 0 H_0:\beta_j=0 H0:βj=0 H 1 : β j H_1:\beta_j H1:βj不全部为零 拟合优度检验: 从回归估计来看，调整的可决系数 R 2 = 0.409 R^{2}=0.409 R2=0.409，但是此回归结果并不作为预测模型来进行预测，所以可以不必过分关注可决系数. F检验: F值为 4.641， P = 0.00290 P=0.00290 P=0.00290，表明模型的线性关系在5%的显著水平下显著成立，所以拒绝零假设。 t检验: 以上结果除变量log(X/P0) 和P2/P在5%的显著水平下拒绝原假设，其他变量均无法通过t检验，在其他条件不变的情况下，农村人均消费支出会明显增加蛋类消费量，同时，当水产类价格上升速度大于蛋类产品时，会刺激农村消费者倾向于消费更多的蛋类产品，即在农村消费者的消费倾向中，水产品类与蛋类产品有一定的替代作用。
建立受约束回归模型 约束条件为 H 0 : β 2 = β 4 = β 5 = β 6 = 0 H_0:\beta_2=\beta_4=\beta_5=\beta_6=0 H0:β2=β4=β5=β6=0，即回归模型为 l n ( Q ) = β 0 + β 1 l n ( X / P 0 ) + β 3 ( P 2 / P ) ln(Q)=\beta_0+\beta_1ln(X/P_0)+\beta_3(P2/P) ln(Q)=β0+β1ln(X/P0)+β3(P2/P)
从以上结果可以看出，在约束条件下，线性关系检验（F检验）和回归系数检验（t检验）在5%的显著水平下更加显著，拒绝原假设的理由更加充分，即更加印证了无约束回归所说明的结论。
检测方法以及解决办法详见下面链接。 链接: 多重共线性.
异方差性：对于模型 Y t = β 0 + β 1 X i 1 + β 2 X i 2 + . . . + β n X i n + μ i ， i = 1 , 2... , n Y_t=\beta_0+\beta_1X_{i1}+\beta_2X_{i2}+...+\beta_nX_{in}+\mu_i，i=1,2...,n Yt=β0+β1Xi1+β2Xi2+...+βnXin+μi，i=1,2...,n，其中残差 μ i \mu_i μi的方差随着 X i X_i Xi的变化而变化，而不是一个常数，这就说明模型存在异方差性，当然这只是模型假设的一个理想条件。 异方差性的后果：（1）参数估计量非有效（2）变量的显著性检验失去意义（3）模型预测失效 检验方法：（1）图示法（2）布罗施-帕甘检验（3）怀特检验
下面我们通过参考书上的案例来进行具体分析。 模型假设为 l n ( Y ) = β 0 + β 1 l n ( X 1 ) + β 2 l n ( X 2 ) + μ ln(Y)=\beta_0+\beta_1ln(X_1)+\beta_2ln(X_2)+\mu ln(Y)=β0+β1ln(X1)+β2ln(X2)+μ
data7 = pd.read_excel(r'./计量经济学数据.xlsx', sheet_name='Sheet7') X = np.log(data7.loc[:,[ '从事农业经营的纯收入X1', '其他来源纯收入X2']]) Y = np.log(data7["人均消费支出Y"]) X = sm.add_constant(X) fit = sm.OLS(Y,X).fit() fit.summary()从拟合结果来看，很明显常数项、变量 X 1 X_1 X1和 X 2 X_2 X2都无法通过 t t t检验，从拟合参数来看，变量 X 2 X_2 X2对因变量的解释性更大，所以如果存在异方差性，则更有可能变量 X 2 X_2 X2引起的，下面我们来进行异方差性检验。
图示法计算残差并绘制异方差性检验图，即 e 2 e^2 e2与 X 2 X_2 X2的散点图。
plt.figure(figsize=(12,8)) plt.scatter(X["其他来源纯收入X2"],np.power(fit.predict(X)-Y,2)) fit.predict(X) plt.title("异方差性检验图",fontsize=16) plt.show()从图中可以看出，拟合模型中可能存在异方差性，而且存在着递增型异方差性，但是从图形并不能很直接的说明问题，存在一定的主观因素在里面，所以下面另外两种方法更为直接地检验一下。
布罗施-帕甘检验将原模型普通最小二乘法估计的残差项的平方后关于变量 X 2 X_2 X2做回归。 模型假设为 e 2 = β 0 + β 2 X 2 e_2=\beta_0+\beta_2X_2 e2=β0+β2X2
e2=np.power(fit.predict(X)-Y,2) X2 = sm.add_constant(X["其他来源纯收入X2"]) fit2 = sm.OLS(e2,X2).fit() fit2.summary()从上图可以得出残差平方与变量 X 2 X_2 X2的拟合方程 e 2 = − 141 + 0.0236 X 2 e^2=-141+0.0236X_2 e2=−141+0.0236X2，同时在5%的显著水平都通过了 t t t检验，同时在5%显著水平下也通过了 F F F检验。综上即可说明在5%的显著水平下拒绝原模型随机干扰项方差相同的原假设，即原模型存在异方差性。
怀特检验记 e i 2 e_i^2 ei2为对原模型进行普通最小二乘回归得到的残差平方，将其与 l n ( X 1 ) 、 l n ( X 2 ) ln(X_1)、ln(X_2) ln(X1)、ln(X2)及其平方项与交叉项作辅助回归。 模型假设为 e 2 = β 0 + β 1 l n ( X 1 ) + β 2 l n ( X 2 ) + β 3 ( l n ( X 1 ) ) 2 + β 4 ( l n ( X 1 ) ) 2 + β 5 l n ( X 1 ) l n ( X 2 ) e_2=\beta_0+\beta_1ln(X_1)+\beta_2ln(X_2)+\beta_3(ln(X_1))^2+\beta_4(ln(X_1))^2+\beta_5ln(X_1)ln(X_2) e2=β0+β1ln(X1)+β2ln(X2)+β3(ln(X1))2+β4(ln(X1))2+β5ln(X1)ln(X2)
X["从事农业经营的纯收入(X1)^2"]=np.power(X["从事农业经营的纯收入X1"],2) X["其他来源纯收入(X2)^2"]=np.power(X["其他来源纯收入X2"],2) X["X1*X2"]=X["从事农业经营的纯收入X1"]*X["其他来源纯收入X2"] X3=X fit3 = sm.OLS(e2,X3).fit() fit3.summary()从上图可以清楚的看到，在5%的显著水平下，拟合方程在线性关系检验上是显著的，也就是拒绝了原拟合方程同方差的原假设，即原拟合方程存在异方差性。
