在复数域上讨论。
定义7
把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子。
设一个n级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足n时，就在后面补上适当个数的1，使得凑成n个，设所得排列为于是令则就是A的不变因子。
如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似，反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们相同的初等因子。
定理8：两个同级复数矩阵相似的充分必要条件时它们有相同的初等因子。
初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量。
关于多项式的最大公因式的一个性质：
如果多项式都与互素，则
事实上，令显然由于故因而另一方面，由于可令其中由于故由又得因而同理所以于是
引理
设如果多项式都与互素，则和等价。
证明：显然和有相同的二级行列式因子，而和的一级行列式因子分别为和由上可知，和是相等的，因而和也有相同的一级行列式因子，所以和等价。
下面的定理给出了一个求初等因子的方法，它不必事先知道不变因子。
定理9
首先用初等边喊化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子。
