问 题 4.3.1 ( L a g r a n g e 定 理 ) . H < G ⇒ ∣ H ∣ ∣ ∣ G ∣ 。 反 之 ， 任 意 m ∣ ∣ G ∣ , 是 否 有 子 群 H 使 得 ∣ H ∣ = m ? 问题4.3.1(\mathrm{Lagrange}定理).H < G \Rightarrow |H| | |G|。反之，任意m | |G|,是否有子群H使得|H| = m? 问题4.3.1(Lagrange定理).H<G⇒∣H∣∣∣G∣。反之，任意m∣∣G∣,是否有子群H使得∣H∣=m? 答 案 是 否 定 的 ( 试 举 反 例 : A 4 没 有 6 阶 元 ) 。 对 循 环 群 是 正 确 的 。 答案是否定的(试举反例:A_4没有6阶元)。对循环群是正确的。 答案是否定的(试举反例:A4没有6阶元)。对循环群是正确的。 定 理 4.3.2 ( C a u c h y 定 理 ) . 设 素 数 p 是 ∣ G ∣ 的 因 子 ， 则 G 中 有 p 阶 元 , 或 G 有 p 阶 子 群 。 {\color{blue}定理4.3.2}(\mathrm{Cauchy}定理).设素数p是|G|的因子，则G中有p阶元,或G有p阶子群。 定理4.3.2(Cauchy定理).设素数p是∣G∣的因子，则G中有p阶元,或G有p阶子群。 注 记 4.3.3. p 阶 子 群 存 在 ， p 2 阶 子 群 是 否 存 在 ？ p 3 , ⋯ , p l ( p l ∣ ∣ G ∣ ) 呢 ？ {\color{blue}注记4.3.3.}p阶子群存在，p^2阶子群是否存在？p^3,\cdots, p^l(p^l | |G|)呢？ 注记4.3.3.p阶子群存在，p2阶子群是否存在？p3,⋯,pl(pl∣∣G∣)呢？ 19世纪挪威的三位数学家: Sylow(1932-1918):Sylow定理(1872) Abel(1802-1829) Lie(1842-1899):连续变换群 大二的有限群、乘法 ⇔ \Leftrightarrow ⇔小学二年级整数、乘法 定 义 4.3.4. 设 p 是 一 个 素 数 。 若 群 G 的 阶 ∣ G ∣ = p k , 则 称 G 是 一 个 p-群 。 {\color{blue}定义4.3.4.}设p是一个素数。若群G的阶|G| = p^k,则称G是一个{\color{blue}\text{p-群}}。 定义4.3.4.设p是一个素数。若群G的阶∣G∣=pk,则称G是一个p-群。 定 理 4.3.5. 设 p-群 G 作 用 在 集 合 X 上 ， ∣ X ∣ = n , t = ∣ X 0 ∣ = { x ∈ X ∣ g x = x , ∀ g ∈ G } ( G 的 作 用 的 不 动 点 集 ) 。 则 {\color{blue}定理4.3.5.}设\text{p-群}G作用在集合X上，|X| = n, t = |X_0| = \lbrace x \in X | gx = x, \forall g \in G \rbrace (G的作用的不动点集)。则 定理4.3.5.设p-群G作用在集合X上，∣X∣=n,t=∣X0∣={x∈X∣gx=x,∀g∈G}(G的作用的不动点集)。则 1 ) t ≡ n ( m o d p ) ; 1)t \equiv n \pmod p; 1)t≡n(modp); 2 ) 当 ( n , p ) = 1 时 , t ≥ 1 , 即 G 在 X 上 的 作 用 存 在 不 动 点 ; 2)当(n, p) = 1时, t \geq 1,即G在X上的作用存在不动点; 2)当(n,p)=1时,t≥1,即G在X上的作用存在不动点; 3 ) C ( G ) = ̸ { 1 } . 3)C(G) =\not \lbrace 1 \rbrace. 3)C(G)≠{1}. 定 理 4.3.6. ( S y l o w 第 一 定 理 ) . 设 ∣ G ∣ = p l m , 其 中 p 为 素 数 , l ≥ 1 , ( p , m ) = 1 。 则 对 任 意 k ≤ l , G 中 存 在 p k 阶 子 群 。 {\color{blue}定理4.3.6.}(\mathrm{Sylow}第一定理).设|G| = p^l m,其中p为素数, l \geq 1,(p,m) = 1。则对任意k \leq l,G中存在p^k阶子群。 定理4.3.6.(Sylow第一定理).设∣G∣=plm,其中p为素数,l≥1,(p,m)=1。则对任意k≤l,G中存在pk阶子群。 证 : 1 ) 考 虑 G 在 G 的 所 有 含 p k 个 元 素 的 子 集 的 集 合 上 的 作 用 。 设 X = { A ⊂ G ∣ ∣ A ∣ = p k } . 对 任 意 A ∈ X , F A 为 其 迷 向 子 群 , 由 于 F A A ⊂ A , 故 A 是 F A 的 一 个 右 陪 集 的 并 , 因 此 ∣ F A ∣ ∣ ∣ A ∣ = p k , 故 F A 是 个 p − 群 , 且 ∣ F A ∣ ≤ p k 。 设 若 所 有 这 些 p − 群 的 阶 数 都 < p k , 则 由 ∣ O A ∣ = ∣ G ∣ / ∣ F A ∣ 可 得 对 任 意 A ∈ X , p l − i + 1 ∣ ∣ O A ∣ . 又 X 为 轨 道 的 不 交 并 , 故 p l − k + 1 ∣ ∣ X ∣ = C p k p k m . {\color{blue}证:}1)考虑G在G的所有含p^k个元素的子集的集合上的作用。设X=\lbrace A \sub G | |A| = p^k \rbrace.对任意A \in X, F_A为其迷向子群,由于F_AA \sub A,故A是F_A的一个右陪集的并,因此|F_A| | |A| = p^k,故F_A是个p-群,且|F_A| \leq p^k。设若所有这些p-群的阶数都<p^k,则由|O_A|=|G|/|F_A|可得对任意A \in X,p^{l-i+1} | |O_A|.又X为轨道的不交并,故p^{l-k+1} | |X| = C^{p^k}p^km. 证:1)考虑G在G的所有含pk个元素的子集的集合上的作用。设X={A⊂G∣∣A∣=pk}.对任意A∈X,FA为其迷向子群,由于FAA⊂A,故A是FA的一个右陪集的并,因此∣FA∣∣∣A∣=pk,故FA是个p−群,且∣FA∣≤pk。设若所有这些p−群的阶数都<pk,则由∣OA∣=∣G∣/∣FA∣可得对任意A∈X,pl−i+1∣∣OA∣.又X为轨道的不交并,故pl−k+1∣∣X∣=Cpkpkm. 2 ) 利 用 C a u c h y 定 理 , 存 在 p 阶 子 群 H . 当 l = 1 , 显 然 成 立 . 2)利用\mathrm{Cauchy}定理,存在p阶子群H.当l=1,显然成立. 2)利用Cauchy定理,存在p阶子群H.当l=1,显然成立. 当 l > 1 时 , 考 虑 H 作 用 在 X = G / H . 当l > 1时,考虑H作用在X=G/H. 当l>1时,考虑H作用在X=G/H. 其 不 动 点 集 X 0 的 元 素 个 数 是 p 的 倍 数 ( ∣ X 0 ∣ ≡ ∣ X ∣ = 0 ( m o d p ) ) , 其不动点集X_0的元素个数是p的倍数(|X_0| \equiv |X| = 0 \pmod p), 其不动点集X0的元素个数是p的倍数(∣X0∣≡∣X∣=0(modp)), 因 此 N G ( H ) ⫌ H ( ∣ X 0 ∣ = [ N G ( H ) : H ] ) . 因此N_G(H) \supsetneqq H(|X_0| = [N_G(H):H]). 因此NG(H)⫌H(∣X0∣=[NG(H):H]). 故 p ∣ ∣ N G ( H ) / H ∣ , 则 N G ( H ) / H 中 含 有 p 阶 子 群 ， 故p | |N_G(H)/H|,则N_G(H)/H中含有p阶子群， 故p∣∣NG(H)/H∣,则NG(H)/H中含有p阶子群， 利 用 同 态 基 本 定 理 ， N G ( H ) 中 含 有 p 2 阶 子 群 。 利用同态基本定理，N_G(H)中含有p^2阶子群。 利用同态基本定理，NG(H)中含有p2阶子群。 定 义 4.3.7. 称 G 的 p l 阶 子 群 为 G 的 s y l o w p − 子 群 {\color{blue}定义4.3.7.}称G的p^l阶子群为G的\mathrm{sylow\;} p-子群 定义4.3.7.称G的pl阶子群为G的sylowp−子群 问 题 4.3.8. S y l o w 第 一 定 理 证 明 了 S y l o w p − 子 群 的 存 在 性 ， 唯 一 吗 ？ 如 果 唯 一 ， 就 是 一 个 正 规 子 群 。 问题4.3.8.Sylow第一定理证明了Sylow \; p-子群的存在性，唯一吗？如果唯一，就是一个正规子群。 问题4.3.8.Sylow第一定理证明了Sylowp−子群的存在性，唯一吗？如果唯一，就是一个正规子群。 如 果 不 唯 一 ， 相 互 关 系 怎 么 样 ？ 与 其 他 的 p k 阶 子 群 的 关 系 如 何 ？ 如果不唯一，相互关系怎么样？与其他的p^k阶子群的关系如何？ 如果不唯一，相互关系怎么样？与其他的pk阶子群的关系如何？ 定 理 4.3.9 ( S y l o w 第 二 定 理 ) . 设 P 是 G 的 一 个 S y l o w p − 子 群 , H 是 G 的 一 个 p k 阶 子 群 。 {\color{blue}定理4.3.9}(Sylow第二定理).设P是G的一个Sylow\;p-子群,H是G的一个p^k阶子群。 定理4.3.9(Sylow第二定理).设P是G的一个Sylowp−子群,H是G的一个pk阶子群。 则 存 在 g ∈ G 使 得 H ⊂ g P g − 1 . 特 别 地 , G 的 S y l o w p − 子 群 是 相 互 共 轭 的 。 则存在g \in G使得H \sub gPg^{-1}.特别地,G的Sylow \; p-子群是相互共轭的。 则存在g∈G使得H⊂gPg−1.特别地,G的Sylowp−子群是相互共轭的。 证 ： 考 虑 H 在 G / P 上 的 左 平 移 作 用 。 证：考虑H在G/P上的左平移作用。 证：考虑H在G/P上的左平移作用。 注 记 4.3.10. 1 ) S y l o w p − 子 群 在 共 轭 意 义 下 是 唯 一 的 ， 什 么 时 候 真 的 唯 一 ？ {\color{blue}注记4.3.10.}1)Sylow \; p-子群在共轭意义下是唯一的，什么时候真的唯一？ 注记4.3.10.1)Sylowp−子群在共轭意义下是唯一的，什么时候真的唯一？ 2 ) 如 果 S y l o w p − 子 群 不 唯 一 ， 个 数 是 多 少 ？ 2)如果Sylow \; p-子群不唯一，个数是多少？ 2)如果Sylowp−子群不唯一，个数是多少？ 设 X = { P < G ∣ ∣ P ∣ = p l } 为 G 的 S y l o w p − 子 群 的 全 体 。 设X = \lbrace P < G | |P| = p^l \rbrace为G的Sylow \; p-子群的全体。 设X={P<G∣∣P∣=pl}为G的Sylowp−子群的全体。 G 在 X 上 的 ( 共 轭 ) 作 用 可 递 。 任 意 P ∈ X , F P = { g ∈ G ∣ g P g − 1 } = N G ( P ) . G在X上的(共轭)作用可递。任意P\in X,F_P = \lbrace g \in G | g P g^{-1} \rbrace = N_G(P). G在X上的(共轭)作用可递。任意P∈X,FP={g∈G∣gPg−1}=NG(P). 显 然 : P ⊲ N G ( P ) , p l ∣ ∣ N G ( P ) ∣ 。 ∣ X ∣ = ∣ G ∣ / ∣ N G ( P ) ∣ . 故 k ∣ m . 显然: P \lhd N_G(P),p^l | |N_G(P)|。|X| = |G| / |N_G(P)|.故k | m. 显然:P⊲NG(P),pl∣∣NG(P)∣。∣X∣=∣G∣/∣NG(P)∣.故k∣m. 推 论 4.3.11. G 的 S y l o w p − 子 群 P 的 个 数 等 于 [ G : N G ( P ) ] . {\color{blue}推论4.3.11.}G的Sylow \; p-子群P的个数等于[G:N_G(P)]. 推论4.3.11.G的Sylowp−子群P的个数等于[G:NG(P)]. 定 理 4.3.12 ( S y l o w 第 三 定 理 ) . 设 G 的 S y l o w p − 子 群 的 个 数 为 k , 则 有 {\color{blue}定理4.3.12}(Sylow第三定理).设G的Sylow \; p-子群的个数为k,则有 定理4.3.12(Sylow第三定理).设G的Sylowp−子群的个数为k,则有 1 ) G 的 S y l o w p − 子 群 P ⊲ G , 当 且 仅 当 k = 1. 因 此 , P 是 N G ( P ) 的 唯 一 的 S y l o w p − 子 群 。 1)G的Sylow \; p-子群 P \lhd G,当且仅当k = 1.因此,P是N_G(P)的唯一的Sylow \; p-子群。 1)G的Sylowp−子群P⊲G,当且仅当k=1.因此,P是NG(P)的唯一的Sylowp−子群。 2 ) k ∣ m , k ≡ 1 ( m o d p ) . 2)k | m,k \equiv 1 \pmod p. 2)k∣m,k≡1(modp). 证 : 2 ) 先 考 虑 G 和 P 在 X 上 的 作 用 . 再 用 P 在 X 上 的 作 用 。 设 P 1 ∈ X 为 P 作 用 的 不 动 点 。 故 p P 1 p − 1 = P 1 , 即 P < N G ( P 1 ) , 同 时 P 1 < N G ( P 1 ) . 即 P , P 1 都 是 N G ( P 1 ) 的 S y l o w p − 群 , 故 P = P 1 , 即 ∣ X 0 ∣ = 1. {\color{blue}证:}2)先考虑G和P在X上的作用.再用P在X上的作用。设P_1 \in X为 P作用的不动点。故pP_1p^{-1} = P_1,即 P< N_G(P_1),同时P_1 < N_G(P_1).即P,P_1都是N_G(P_1)的Sylow \; p-群,故P=P_1,即|X_0| = 1. 证:2)先考虑G和P在X上的作用.再用P在X上的作用。设P1∈X为P作用的不动点。故pP1p−1=P1,即P<NG(P1),同时P1<NG(P1).即P,P1都是NG(P1)的Sylowp−群,故P=P1,即∣X0∣=1. 例 4.3.13. 1 ) S 4 的 共 轭 类 例4.3.13. \quad 1)S_4的共轭类 例4.3.13.1)S4的共轭类 2 ) 设 G = A 4 , 求 共 轭 类 ， S y l o w 3 − 子 群 , S y l o w 2 − 子 群 。 2)设G=A_4,求共轭类，Sylow \; 3-子群,Sylow \; 2-子群。 2)设G=A4,求共轭类，Sylow3−子群,Sylow2−子群。 例 4.3.14. 12 阶 群 必 有 一 个 S y l o w 子 群 是 正 规 的 。 例4.3.14. \quad 12阶群必有一个Sylow子群是正规的。 例4.3.14.12阶群必有一个Sylow子群是正规的。 例 4.3.15. 72 阶 子 群 不 是 单 群 。 例4.3.15.\quad 72阶子群不是单群。 例4.3.15.72阶子群不是单群。 证 : S y l o w 3 − 子 群 有 1 个 ( 正 规 ) 或 4 个 。 设 X = { P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } 为 G 的 S y l o w 3 − 子 群 的 集 合 。 G 在 X 上 的 ( 共 轭 ) 作 用 可 递 ， 故 得 到 同 态 π : G → S 4 . ker π 为 非 平 凡 正 规 子 群 ( 理 由 ) 。 证:Sylow \; 3-子群有1个(正规)或4个。设X = \lbrace P_1, P_2, P_3, P_4 \rbrace 为G的Sylow3-子群的集合。G在X上的(共轭)作用可递，故得到同态\pi:G \to S_4. \ker \pi 为非平凡正规子群(理由)。 证:Sylow3−子群有1个(正规)或4个。设X={P1,P2,P3,P4}为G的Sylow3−子群的集合。G在X上的(共轭)作用可递，故得到同态π:G→S4.kerπ为非平凡正规子群(理由)。 定 义 4.3.16. 称 一 个 群 为 单 群 ， 如 果 它 没 有 非 平 凡 的 正 规 子 群 。 {\color{blue}定义4.3.16.}称一个群为{\color{blue}单群}，如果它没有非平凡的正规子群。 定义4.3.16.称一个群为单群，如果它没有非平凡的正规子群。
