高斯消元法（模板）

高斯消元法（列选主元法）

唯一解：判定存在性并求值

$a$数组存增广矩阵（第$n+1$列为常数列）$mr$为每次所选取的最大系数的行标号，然后交换第$i$行和$mr$行若存在唯一解，则系数矩阵会被化简为$n\times n$的单位矩阵，相应的常数列就是$x_i$的解啦！调用：Gauss();返回值：$0$表示无唯一解，$1$表示有唯一解 #include "bits/stdc++.h" #define hhh printf("hhh\n") #define see(x) (cerr<<(#x)<<'='<<(x)<<endl) using namespace std; typedef long long ll; typedef pair<int,int> pr; inline int read() {int x=0;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9')c=getchar();while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();return x;} const int maxn = 1e5+10; const int inf = 0x3f3f3f3f; const int mod = 1e9+7; const double eps = 1e-7; int n; double a[101][102]; bool Gauss() { for(int i=1; i<=n; ++i) { int mr=i; for(int j=i+1; j<=n; ++j) if(fabs(a[j][i])>fabs(a[mr][i])) mr=j; swap(a[i],a[mr]); if(fabs(a[i][i])<eps) return 0; for(int j=1; j<=n; ++j) { if(j==i) continue; double d=a[j][i]/a[i][i]; for(int k=i; k<=n+1; ++k) a[j][k]-=d*a[i][k]; } for(int k=i+1; k<=n+1; ++k) a[i][k]/=a[i][i]; a[i][i]=1; } return 1; } int main() { //ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); n=read(); for(int i=1; i<=n; ++i) for(int j=1; j<=n+1; ++j) scanf("%lf", &a[i][j]); if(Gauss()) for(int i=1; i<=n; ++i) printf("%.2f\n", a[i][n+1]); else printf("No Solution\n"); }

无穷解：判定解的情况

要先判定无解，再判定无穷解（但是要在化简过程中先记录）判定无解要在化简结束后，并且要检查所有行 #include "bits/stdc++.h" #define hhh printf("hhh\n") #define see(x) (cerr<<(#x)<<'='<<(x)<<endl) using namespace std; typedef long long ll; typedef pair<int,int> pr; inline int read() {int x=0;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9')c=getchar();while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();return x;} const int maxn = 1e5+10; const int inf = 0x3f3f3f3f; const int mod = 1e9+7; const double eps = 1e-7; int n; double a[101][102]; int Gauss() { bool Inf=0; for(int i=1; i<=n; ++i) { int mr=i; for(int j=i+1; j<=n; ++j) if(fabs(a[j][i])>fabs(a[mr][i])) mr=j; swap(a[i],a[mr]); if(fabs(a[i][i])<eps) { Inf=1; continue; } for(int j=1; j<=n; ++j) { if(j==i) continue; double d=a[j][i]/a[i][i]; for(int k=i; k<=n+1; ++k) a[j][k]-=d*a[i][k]; } for(int k=i+1; k<=n+1; ++k) a[i][k]/=a[i][i]; a[i][i]=1; } for(int i=1; i<=n; ++i) { int f=1; for(int j=1; j<=n; ++j) if(fabs(a[i][j])>=eps) { f=0; break; } if(f&&fabs(a[i][n+1])) return 0; } if(Inf) return 2; return 1; } int main() { //ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); n=read(); for(int i=1; i<=n; ++i) for(int j=1; j<=n+1; ++j) scanf("%lf", &a[i][j]); int ans=Gauss(); if(ans==1) for(int i=1; i<=n; ++i) printf("x%d=%.2f\n", i, a[i][n+1]); else printf("%d\n", ans?0:-1); }

高级版（可求出自由变量数目）（还没用过这个板子，但感觉可以用上面的写法稍微改改就好了）

a数组中常系数保存在a[i][var]中； 唯一解保存在x数组中； 自由变量保存在free_x数组中；

const double eps = 1e-9; double a[maxn][maxn];//每个方程中每个未知数的系数 double x[maxn];//解集 bool free_x[maxn]; int sgn(double x) { return (x>eps)-(x<-eps); } int gauss(int equ, int var) { int i,j,k; int max_r; // 当前这列绝对值最大的行. int col; // 当前处理的列. double temp; int free_x_num; int free_index; // 转换为阶梯阵. col=0; // 当前处理的列. memset(free_x,1,sizeof(free_x)); for(k=0; k<equ&&col<var; k++,col++) { max_r=k; for(i=k+1; i<equ; i++) { if(sgn(fabs(a[i][col])-fabs(a[max_r][col]))>0) max_r=i; } if(max_r!=k){ // 与第k行交换. for(j=k; j<=var; j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]); } if(sgn(a[k][col])==0) { k--; continue; }// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列. for(i=k+1; i<equ; i++) { // 枚举要删去的行. if(sgn(a[i][col])!=0) { temp=a[i][col]/a[k][col]; for(j=col; j<=var; j++) { a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*temp; } } } } for(i=k;i<equ;i++) if(sgn(a[i][col])!=0) return 0; if(k<var) { for(i=k-1; i>=0; i--) { free_x_num=0; for(j=0; j<var; j++) { if(sgn(a[i][j])!=0&&free_x[j]) free_x_num++, free_index=j; } if(free_x_num>1) continue; temp=a[i][var]; for(j=0; j<var; j++) { if(sgn(a[i][j])!=0&&j!=free_index) temp-=a[i][j]*x[j]; } x[free_index]=temp/a[i][free_index]; free_x[free_index]=0; } return var-k; } for(i=var-1; i>=0; i--) { temp=a[i][var]; for(j=i+1; j<var; j++) { if(sgn(a[i][j])!=0) temp-=a[i][j]*x[j]; } x[i]=temp/a[i][i]; } return 1; }

再附带一份同余版本的高斯消元