定理10 若向量空间V有一组基含有n个向量，则V的每一组基一定恰好含有n个向量 定义 若V由一个有限集生成，则V称未有限维的，V的维数写成dimV，是V的基中含有向量的个数，零向量空间{0}的维数定义为零。如果V不是由一有限集生成，则V称为无穷维的。 定理11 令H是有限维向量空间V的子空间，若有需要的话，H中任一线性无关集均可以扩充称为H的一个基，H也是有限维的并且 dimH <= dimV 定理12 令V是一个p维向量空间，p>=1, V中任意含有p个元素的线性无关集必然是V的一个基。任意含有p个元素且生成V的集合必然是V的一个基。 其他：NulA的维数是方程Ax=0中自由变量的个数。ColA的维数是A中主元列的个数。 行空间： 若A是一个mn的矩阵，A的每一行都有n个数字，即可视为Rn中的一个向量。其行向量的所有线性组合的集合称为A的行空间。记做RowA 定理13 若两个矩阵A和B行等价，则他们的行空间相同。若B是阶梯形矩阵，则B的非零行构成A行空间的一个基同时也是B的行空间的一个基。 定义 A的秩即A的列空间的维数。 定理14 mn矩阵A的列空间和行空间的维数相等，这个公共的维数（即A的秩）还等于A的主元位置的个数且满足方程 rankA + dimNulA = n （rank — 表示秩） 秩和可逆矩阵定理 令A是一个n*n的矩阵，则下列的命题中的每个均等价于A是可逆矩阵 m A的列构成Rn的一个基 n ColA = Rn o dimColA = n q NulA = {0} r dim NulA = 0
