[剑指Offer]-礼物的最大值

题目描述

在一个 m*n 的棋盘中的每一个格都放一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于0）.你可以从棋盘的左上角开始拿各种里的礼物，并每次向左或者向下移动一格，直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及上面个的礼物，请计算你最多能拿走多少价值的礼物？

在这个棋盘中，按照（1，12，5，7，7，16，5）的顺序可以拿到总价值最大的礼物。

解题思路

一个很直观的想法是，我们将每一步求解出的结果都保存在一个矩阵中。那么在这个问题中就要有一个和原始矩阵等大的矩阵进行存储，但是实际上只需要一个与列数相同维数的一维数组就够了。为什么存储这么少的就够了呢。

在动态规划求解这个问题的时候，我们找出到达每一行中每个位置的最大值，在求解第一行的时候，很明显只能一直向右走，对于第二行的一个数字，很明显只能从 (0,0)(0,0) 走到 (0,1)(0,1) ，这个还是先用与原始矩阵同样大的矩阵进行分析，如下所示 在上图中，如果要求到达 a 点的礼物的最大值，它只与左边的值和它上面的值有关，所以在计算 a 之前就可以将 1 去掉了，因为后面的计算都不会用到 a 的。同理计算出 a 点的最大值之后就可以将 11 替换掉了，因为再求 b 的时候不会再用到。分析到这里我们就可以发现，并不需要一个与原始矩阵等大的矩阵来存储中间计算的值，只需要一个与列数相同的一维向量即可。

算法图解

参考代码：

package offer; /** * 礼物的最大值 */ public class Offer47 { public static void main(String[] args) { } /** * 辅助数组不用和m*n的二维数组一样大，只需要保存上一层的最大值就可以。 * 代码中使用长度为列数n的一位数组作为辅助数组，注释部分为二维辅助数组。 * @param values * @return */ public static int maxValueOfGifts(int[][] values) { if (values == null || values.length <= 0 || values[0].length <= 0) return 0; int rows = values.length; int cols = values[0].length; // int[][] maxValue=new int[rows][cols]; int[] maxValue = new int[cols]; for (int i = 0; i < rows; i++) { for (int j = 0; j < cols; j++) { int left = 0; int up = 0; if (i > 0) // up=maxValue[i-1][j]; up = maxValue[j]; if (j > 0) // left=maxValue[i][j-1]; left = maxValue[j - 1]; // maxValue[i][j]=Math.max(up, left)+values[i][j]; maxValue[j] = Math.max(up, left) + values[i][j]; } } // return maxValue[rows-1][cols-1]; return maxValue[cols - 1]; } }

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附录

该题源码在我的 ?Github 上面！