在逻辑学与数学中,一个形式系统由两部分组成,一个形式语言加上一套推理规则。
一个形式系统也许是纯粹抽象地制定出来的,只是为了研究其自身。也可能是为了描述真实现象或客观事实而设计的。
λ演算用于研究函数定义、函数应用和递归,它是一些形式系统的总称,配备不同的推理规则集,就会得到不同的演算系统。
λ演算由Alonzo Church和Stephen Cole Kleene在20世纪三十年代引入,Church在1936年证明了,两个λ表达式是否等价的问题,是不可判定的。这是第一个被证明的不可判定问题,甚至早于停机问题。
λ演算对函数式编程有巨大的影响。
采用BNF,λ项的文法可以描述如下,
M ::= x | MM | λx.M注:为行文简便,这里省略了(和)。
它表明,合法的表达式,要么是一个变量:x,要么是一个函数调用(application):MM,要么是一个函数抽象(lambda abstraction):λx.M。
例如:这些表达式是合法的,x,(λx.x)5,λx.y。
α转换是一种推理规则,它基于以下事实,函数的形参只是占位符,替换形参和函数体中相应的符号,所产生的新表达式与原表达式等价。
例如,经过α转换之后,
λxy.x(xy) ≡ λuv.u(uv)易见,α转换是一个等价关系(自反的,对称的,传递的)。
函数调用表达式,可以化简,结果为函数体中的形参替换成实参后的表达式。例如,(λx.x(xy))N可以一步β归约为N(Ny),(λx.(λy.yx)z)v可以两步β归约为zv,而(λx.xx)(λx.xx)可以无限制的进行β归约。
通常我们把一步或者多步β归约,简称为β归约。如果某一λ项不可再进行β归约,就称该项为β范式(β-normal form)。
如果某一λ项可以β归约为两个不同的项,那么,这两项必定可以再β归约为同一项,这种性质称为汇聚性(confluence)。
大多数编程语言采用的策略是严格求值(strict evaluation),即,求值子表达式总是在复合表达式之前进行,或者说,在进入函数体之前,实参需要先求值。例如:
head [3+2, 7*5] => head [5, 35] => 5如果采用了这种求值策略,列表的长度就必须是有限的,调用函数head之前,必须先确定列表中的每一个元素。
Haskell的实现ghc,并没有采用这种求值策略,它希望求值一个表达式越晚越好。在这个例子中,ghc并不会先确定列表元素的值,而是直接调用head,得到一个尚未被求值的列表元素3+2。
而后,因为我们要在屏幕上显示结果,所以迫使3+2必须被求值,显示为5,这种求值方式,被称为惰性求值(lazy)。
现在我们来计算myHead infiniteNumbers。
『希望求值一个表达式越晚越好』并不是一件简单的事情,因为即使infiniteNumbers不事先求值,在带入myHead之后,还是不得不求值它,仍然会导致createInfiniteNumbers无限递归。
其实,ghc在求值表达式时,并不会一次性的求值到底,而是每次只将一个表达式求值到它的WHNF(weak head normal form),即,求值到最外层的值构造器或者λ抽象为止。
值构造器以及λ抽象内部,就不会被求值了,未被求值的部分用占位符来表示,称为thunk。ghc会记录多个相同thunk的不同引用,使得这些相同thunk只会被求值一次。
我们来看上式的求值过程:(1)myHead infiniteNumbers这个表达式是一个thunk,由于我们要在屏幕上显示它的值,所以不得不求值它。(2)我们需要将上述thunk求值为WHNF,于是,将infiniteNumbers保存为另外一个新的thunk,调用函数myHead。(3)myHead会对参数进行模式匹配,因此参数不得不被求值。
(4)infiniteNumbers求值会导致createInfiniteNumbers 1被求值。因为,只需求值到WHNF,所以不会引起无限递归。(5)结果为Prepend 1 (createInfiniteNumbers (1 + 1)),它是一个WHNF。其中,Prepend可被用于模式匹配,而1和createInfiniteNumbers (1 + 1)都是thunk。(6)现在myHead就可以对参数进行匹配了,myHead (Prepend x _) = x满足匹配条件,x匹配到了1,于是myHead返回了1,注意1还是一个thunk。
(7)为了把1这个thunk显示出来,继续求值,结果为数字1。
注:只有infiniteNumbers的值被需要的时候,才会调用createInfiniteNumbers 1,也就是说,thunk可以不是weak head normal form,但是如果thunk被求值,其结果一定是weak head normal form。
因此,在这个例子中,调用myHead infiniteNumbers之前,infiniteNumbers是未求值的,即使是,它所对应的createInfiniteNumbers 1不是一个weak head normal form。
为了对求值进行控制,ghc内置了seq函数。
ghci> :t seq ghci> seq :: a -> b -> b它首先将第一个参数求值为WHNF,然后返回第二个参数。例如:
ghci> let x = 1 + 2 :: Int ghci> let y = (x, x) ghci> let u = 1 + 2 :: Int ghci> let v= seq u (u, u) ghci> let f (_, _) = 0 ghci> f y ghci> f v ghci> :sprint x x= _ ghci> :sprint u u = 3注::sprint是ghci提供的功能,用于显示表达式的结果,但不会对它求值。
形式系统Lambda-Calculus and CombinatorsBeginning HaskellParallel and Concurrent Programming in Haskell[:sprint for polymorphic values](http://stackoverflow.com/questions/21518584/sprint-for-polymorphic-values)GHCi :sprint has odd/unhelpful behavior for values defined within the REPL
相关资源:python入门教程(PDF版)