数据结构例程——二叉树的构造

本文是数据结构基础系列(6)：树和二叉树中第13课时二叉树的构造的例程。

1.由先序序列和中序序列构造二叉树

定理：任何n（n≥0）个不同节点的二叉树，都可由它的中序序列和先序序列唯一地确定。证明（数学归纳法） 基础：当n=0时，二叉树为空，结论正确。 假设：设节点数小于n的任何二叉树，都可以由其先序序列和中序序列唯一地确定。 归纳：已知某棵二叉树具有n（n＞0）个不同节点，其先序序列是a0a1…an−1；中序序列是b0b1…bk−1bkbk+1…bn−1。 先序遍历“根-左-右”，a0必定是二叉树的根节点 a0必然在中序序列中出现，设在中序序列中必有某个bk（0≤k≤n−1）就是根节点a0。 由于bk是根节点，中序遍历“左-根-右”，故中序序列中b0b1…bk−1必是根节点bk(a0)左子树的中序序列，即bk的左子树有k个节点，bk+1…bn−1必是根节点bk（a0）右子树的中序序列，即bk的右子树有n−k−1个节点。对应先序序列，紧跟在根节点a0之后的k个节点a1…ak是左子树的先序序列，ak+1…an−1这n−k−1就是右子树的先序序列。 根据归纳假设，子先序序列a1…ak和子中序序列b0b1…bk−1可以唯一地确定根节点a0的左子树，而先序序列ak+1…an−1和子中序序列bk+1…bn−1可以唯一地确定根节点a0的右子树。综上所述，这棵二叉树的根节点己经确定，而且其左、右子树都唯一地确定了，所以整个二叉树也就唯一地确定了。

例

根据定理的证明，写出下面的算法。

品味：以上构造性证明是突出体现计算机科学的案例。计算机学科的精髓就在于制造，即使在“理论性”味道的定理中，其证明过程，给出的就是“存在的这么一个东西”的构造方法。

［参考解答］（btreee.h见算法库）

#include <stdio.h> #include <malloc.h> #include "btree.h" BTNode *CreateBT1(char *pre,char *in,int n) /*pre存放先序序列,in存放中序序列,n为二叉树结点个数, 本算法执行后返回构造的二叉链的根结点指针*/ { BTNode *s; char *p; int k; if (n<=0) return NULL; s=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); //创建二叉树结点*s s->data=*pre; for (p=in; p<in+n; p++) //在中序序列中找等于*ppos的位置k if (*p==*pre) //pre指向根结点 break; //在in中找到后退出循环 k=p-in; //确定根结点在in中的位置 s->lchild=CreateBT1(pre+1,in,k); //递归构造左子树 s->rchild=CreateBT1(pre+k+1,p+1,n-k-1); //递归构造右子树 return s; } int main() { ElemType pre[]="ABDGCEF",in[]="DGBAECF"; BTNode *b1; b1=CreateBT1(pre,in,7); printf("b1:"); DispBTNode(b1); printf("\n"); return 0; }

2.由后序序列和中序序列构造二叉树

定理：任何n（n＞0）个不同节点的二叉树，都可由它的中序序列和后序序列唯一地确定。证明：(略)

［参考解答］（btreee.h见算法库）

#include <stdio.h> #include <malloc.h> #include "btree.h" BTNode *CreateBT2(char *post,char *in,int n) /*post存放后序序列,in存放中序序列,n为二叉树结点个数, 本算法执行后返回构造的二叉链的根结点指针*/ { BTNode *s; char r,*p; int k; if (n<=0) return NULL; r=*(post+n-1); //根结点值 s=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); //创建二叉树结点*s s->data=r; for (p=in; p<in+n; p++) //在in中查找根结点 if (*p==r) break; k=p-in; //k为根结点在in中的下标 s->lchild=CreateBT2(post,in,k); //递归构造左子树 s->rchild=CreateBT2(post+k,p+1,n-k-1); //递归构造右子树 return s; } int main() { ElemType in[]="DGBAECF",post[]="GDBEFCA"; BTNode *b2; b2=CreateBT2(post,in,7); printf("b2:"); DispBTNode(b2); printf("\n"); return 0; }

3.由顺序存储结构转为二叉链存储结构

［参考解答］（btreee.h见算法库）

#include <stdio.h> #include <malloc.h> #include "btree.h" #define N 30 typedef ElemType SqBTree[N]; BTNode *trans(SqBTree a,int i) { BTNode *b; if (i>N) return(NULL); if (a[i]=='#') return(NULL); //当节点不存在时返回NULL b=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); //创建根节点 b->data=a[i]; b->lchild=trans(a,2*i); //递归创建左子树 b->rchild=trans(a,2*i+1); //递归创建右子树 return(b); //返回根节点 } int main() { BTNode *b; ElemType s[]="0ABCD#EF#G####################"; b=trans(s,1); printf("b:"); DispBTNode(b); printf("\n"); return 0; }