图像处理中卷积的作用

\quad 图像处理之中，有很多算法是基于卷积的：图像滤波、边缘提取都是对整幅图像做了一个卷积。由于图像是离散的，所以实际上是图像矩阵和一个卷积模板做了卷积操作。通常滤波的卷积模板权值和为1（因为滤波其实是在取均值），边缘提取的模板权值和为0（因为是在做差分）。

\quad 为什么会用到卷积呢？因为在这里用卷积，会具有空不变性，或者说，具有一种空间上的平移不变性。假设原图像为$f(i,j)$,卷积模板是$S(i,j)$,以$O(i,j)$表示$(i,j)$的领域,卷积后的图像是$g(i,j)$: $$g(i,j)={\sum \sum }_{(t,k)\in O(i,j)}f(t,k)S(i-t,j-k)$$ \quad 上面提到的空不变性是指：对于原图像中的每个像素点，都进行了同样的操作，都以同一个卷积模板套在这个像素点上，对其领域内所有像素点的灰度值进行加权求和。当中心像素点滑动，卷积模板也会跟着滑动，始终保证中心像素点在卷积模板的中心。

\quad 再说一些关于卷积的东西，上面的卷积具有空不变性，如果卷积是这个形式： $${\int }_{t_0}^{t_e}f(s)g(t-s)ds$$其中的t代表时间，就表示这个形式的卷积具有时不变性，或者有一种时间上的平移不变性。对于函数f的所有点，它们在时间维度上受到了同样的操作。这一点很难表达，可以看这个链接中的例子：

【如何通俗易懂地解释卷积？ - palet的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/22298352/answer/637156871】 \quad 这个回答中对于“卷积”一词的理解也非常有趣：“先卷再积”，实在生动形象。