推荐领域常见的转化率：ctr(click-through Rate)，往往是推荐问题的重要特征之一。ctr的数值等于 点击量 除以 曝光量；
以r表示转化率：
但是在实际过程中往往会碰到两个问题：
新出现的商品，曝光量为0 点击量为0 ，这个时候的ctr怎么算？
不同的商品A B， 他们的转化率 Ra = 5/10 ， Rb = 50/100， Ra = Rb，但是商品A和B 的曝光量存在数量级上差异，这样做是否合理呢？
第一个问题中，初值可以设置为0， 但是不太合理，ctr作为一个强特，表示这个商品完全没有点击率这是极不合理的；所以赋值通常是一个大于0的数值； 第二个问题中，这样的比较是不合理的。
解决上述问题，一般采用贝叶斯平滑的方法。最简单的方法就是：在分子与分母上加上一个常数，加上只有就避免了这个问题：
但是 ab的值该如何确定呢？ -- 通过贝叶斯平滑来确定 ab
贝叶斯平滑的思想是给ctr预设一个经验初始值， 再通过当前的点击量和曝光量来修正这个初始值，如果某个商品的点击量和曝光量都是0，那么该商品的ctr就是这个经验初始值； 如果AB商品的曝光量差距很大，那么可以用这个经验初始值来修正，使得曝光量大的商品的权重增大。
贝叶斯平滑就是确定这个经验值的过程，贝叶斯平滑是基于贝叶斯统计推断的，因此经验值的计算过程依赖于数据的分布情况。
贝叶斯平滑的推导设计贝叶斯参数估计，如果对贝叶斯参数估计不熟悉，可以参考：http://blog.csdn.net/jinping_shi/article/details/53444100。
对于商品或光改之类的，用户要么点击要么不点击，那么就符合二项分布。因此我们对点击的贝叶斯假设都是基于以下的假设：
对于某个商品或者广告X，其是否被点击是一个伯努利分布（Bernoulli）。
X表示的是是否被点击，点击取1，不点取0。r是X被点击的概率，对于不符合二项分布的比值类数据，在后文有说明。
在 三 的假设下，可以使用贝叶斯估计计算出点击率的估计值，从用户的日志中随机抽出n条记录，对任一条记录都有：
那么所有记录的联合概率密度就是上式的连乘。然后将连乘后的式子对r求导，并令其等于0。可以得到估计值r。r就是点击率的极大似然估计。当X的点击次数或则曝光次数为0时，可以用r代替作为他的初始值。它解决了第一个问题，但是没有解决第二个问题。
上述的估计r没有历史的信息，所谓历史的信息是：我们虽然不知道r的具体取值，但是可以知道r的范围，更精确地，我们可以假设r服从某个分布。要将这些信息融入到r的估计中，需要用到贝叶斯参数估计。
在贝叶斯的框架下，我们假设点击率服从某个分布：
这是基于经验做的，这个分布称为先验分布。贝叶斯参数估计可以直接解决前面两个问题。其过程是基于经验或则历史数据给出一个r的估计值，然后基于现有的数据在这个估计值上修正，得到的最终的点击率。此时的估计值是已经修正过的了。更美好的是我们可以得到修正参数a和b。
既然有先验分布，那么就有后验分布。r的后验分布记做π(r|x)。x是输入的数据（特征），对于点击率预测，x就是点击次数和曝光量。因为已经知道了数据，才确定r的分布，因此叫做后验分布。贝叶斯估计的实质就是在求后验分布。即基于当前点击次数和曝光量，求点击率的分布；而未看到数据之前点击率的分布是π(r)。
如何计算后验分布π(r|x)？
贝叶斯估计的过程可以简单的看成：
用历史数据根据 π(r) 估计 r ，记作r^history；用当前数据根据π(r|x) 估计 r ，记作r^currentr，然后用r^history修正r^currentr。
r 的后验分布 π(r|x) 是个概率密度函数，无法知道r确切的值。需要求出最接近真实情况的 r , 需要损失函数来约束。
贝叶斯参数估计的过程可以简单描述为：
求r^，使得损失函数在 r 的后验分布上的期望最小。
这句话的数学公式是：
因此需要知道 π(r|x) 的形式，然而 π(r|x) 的形式一般不知道的，但是可以知道 π(r) 的形式（经验值嘛，我们指定的）。此外，数据的分布我们也是知道的，其概率密度函数（pdf）记为f(x|r)f(x|r)，表示数据的分布跟参数rr有关，rr是要求解的参数，在这里就是点击率。
这时可以根据贝叶斯公式计算出 π(r|x) ：
上式好复杂，但其实一些常见的分布都可以求出上式积分的具体形式。但通常不用实际去积分，因为满足一定条件，π(r) 跟π(r|x) 有一样的形式。π(r)是已知的，如果形式一样，π(r|x)也就容易求得了。下面介绍共轭先验的概念。
共轭先验： 如果找到一个π(r)，它是f(x|r)的共轭先验，那么rr的后验分布π(r|x)和先验分布π(r)会有一样的形式。
之前假设广告是否点击服从伯努利分布，参数为r；对于点击次数，服从的是二项分布，即f(C,I|r)∼Bin(r)。
二项分布的共轭先验是Beta分布，Beta分布的参数是α和β，即π(r)=Beta(α,β)。根据共轭先验的定义，r的后验分布π(r|x)的形式跟其先验分布π(r)一样，即π(r|x)=Beta(α′,β′)。 对于点击率预测，求出π(r|x)，带入公式。当L(r^,r)=(r^−r)^2时，
就是点击率估计（平滑）的最终形式。其中 C 和 I 就是点击次数和曝光量，α即为公式(2)中的a，α+β是公式(2)中的bb。α和β是从历史数据中得到的。
上面的内容给出了为什么很多文章会假设点击率服从Beta分布的理由，因为最终的平滑的因子是Beta分布（先验分布）中的两个参数。那么如何计算（估计）这两个参数？
综上，贝叶斯平滑的最终落脚点是要估计Beta分布（点击率rr服从的分布）中的参数αα和ββ。下面给出比较直观的矩估计的方法。
我们可以用样本的均值代替期望，样本的方差代替总体的方差。 就此可以解出α 和 β 的值。
实际操作时可以连续取一段时间的数据，比如一周，然后在每天的数据中计算每件商品或广告的点击率，之后求出这些点击率的均值和方差，带入公式(9)和公式(10)，可以得到每天的 α 和 β . 最后求这段时间 α 和 β 的均值作为最终的平滑参数。
实际应用时根据历史数据得到的 α 和 β 可以帮助确定平滑参数的大致范围，防止设置参数时偏离过大。通常可以调整 α 和 β 的范围达到预期的效果。
举例说明：
下图是某件商品在两周时间内的点击率。黄色线是每天根据点击次数 C 和曝光量 I 计算得到的真实点击率；
蓝色线是根据一周的历史数据计算得到的 α 和 β 带入公式(8)得到的平滑后的点击率；
绿色线是自定义平滑参数的点击率，a=50，b=200，设置得比较夸张。可以看到如果平滑参数设置的不合理，会放大数据的表现，有时候甚至会扭曲数据的走势，数据预处理时需要考虑这样的情况。
公式(8)的结论适用于数据是二项分布的情况，如点击率。对于不是二项分布的数据公式(8)不适用。如果数据不是二项分布，那么其先验概率就不是Beta分布了。比如某件商品一天的点击量与一周的点击量的比值，这个数据不符合二项分布，因此不适用公式(8)。但这个数据有可能是高斯分布。如果数据是高斯分布，那么其先验概率π(r)是逆Gamma分布（invers Gamma）分布，进而其后验概率π(r|x)也是逆Gamma分布，此时公式(8)会有不一样的形式。
