上图中，我们假设，把 p ( 0 ) p(0) p(0)向量，沿着 ω ^ \hat{\omega} ω^轴旋转 θ \theta θ，到达 p ( θ ) p(\theta) p(θ)位置。（这里假设所有的量都是表达在固定坐标系下的）。我们假设旋转角速度是 1 1 1rad/s，那么这个过程花费的时间就是从 t = 0 t=0 t=0到 t = θ t=\theta t=θ。假设 p ( t ) p(t) p(t)代表了向量的轨迹，那么我们得到 p ( t ) p(t) p(t)的导数的表达： p ˙ = ω ^ × p \dot{p}=\hat{\omega}\times p p˙=ω^×p 通过简单的证明可知上式的正确性：由于我们假设了旋转角速度为 1 1 1rad/s，那么线速度就是角速度乘半径，为 ∣ ∣ p ∣ ∣ sin ϕ ||p||\sin\phi ∣∣p∣∣sinϕ；而上式结果也为 ∣ ∣ p ∣ ∣ sin ϕ ||p||\sin\phi ∣∣p∣∣sinϕ。
根据前文的介绍，上式可以写作： p ˙ = [ ω ^ ] p \dot{p}=[\hat{\omega}] p p˙=[ω^]p 这是一个矩阵的线性微分方程，它的解为： p ( t ) = e [ ω ^ ] t p ( 0 ) p(t)=e^{[\hat{\omega}] t} p(0) p(t)=e[ω^]tp(0) 因为旋转角速度为 1 1 1rad/s，所以 t t t和 θ \theta θ是等价的： p ( θ ) = e [ ω ^ ] θ p ( 0 ) p(\theta)=e^{[\hat{\omega}]{\theta}} p(0) p(θ)=e[ω^]θp(0) 可以看出， e [ ω ^ ] θ e^{[\hat{\omega}]{\theta}} e[ω^]θ在这里充当了旋转矩阵的角色。 又根据矩阵指数的性质： e [ ω ^ ] θ = I + sin θ [ ω ^ ] + ( 1 − cos θ ) [ ω ^ ] 2 e^{[\hat{\omega}] \theta}=I+\sin \theta[\hat{\omega}]+(1-\cos \theta)[\hat{\omega}]^{2} e[ω^]θ=I+sinθ[ω^]+(1−cosθ)[ω^]2 所以有： Rot ( ω ^ , θ ) = e [ ω ^ ] θ = I + sin θ [ ω ^ ] + ( 1 − cos θ ) [ ω ^ ] 2 ∈ S O ( 3 ) \operatorname{Rot}(\hat{\omega}, \theta)=e^{[\hat{\omega}] \theta}=I+\sin \theta[\hat{\omega}]+(1-\cos \theta)[\hat{\omega}]^{2} \in S O(3) Rot(ω^,θ)=e[ω^]θ=I+sinθ[ω^]+(1−cosθ)[ω^]2∈SO(3) 这也就是著名的罗德里得斯公式。也就是旋转的指数表达方法。
需要注意的是，这里也需要考虑 ω ^ \hat{\omega} ω^是表示在哪个坐标系下。如果 ω ^ \hat{\omega} ω^是表示在固定坐标系下的，那么是左乘 Rot ( ω ^ , θ ) ⋅ R \operatorname{Rot}(\hat{\omega}, \theta) \cdot R Rot(ω^,θ)⋅R；如果 ω ^ \hat{\omega} ω^是表示在体坐标系下的，那么是右乘 R ⋅ Rot ( ω ^ , θ ) R \cdot \operatorname{Rot}(\hat{\omega}, \theta) R⋅Rot(ω^,θ)。
上文介绍了矩阵指数运算： exp : [ ω ^ ] θ ∈ s o ( 3 ) → R ∈ S O ( 3 ) \exp : \quad[\hat{\omega}] \theta \in so(3) \rightarrow R \in SO(3) exp:[ω^]θ∈so(3)→R∈SO(3) 这里新引入矩阵对数运算： log : R ∈ S O ( 3 ) → [ ω ^ ] θ ∈ s o ( 3 ) \log : \quad R \in SO(3) \rightarrow[\hat{\omega}] \theta \in so(3) log:R∈SO(3)→[ω^]θ∈so(3)
指数坐标通过矩阵的指数运算就可以转换成旋转矩阵了，也就是上文的罗德里得斯公式。但如何从旋转矩阵回到指数坐标呢?
不好意思，这个问题先空着。。。以后在更。。。
刚体运动的表示包括了刚体的旋转与刚体的平移。这是在旋转的基础上，进一步的扩展。
很自然的选择就是，用刚体的旋转矩阵和平移矢量来表达刚体运动。我们常常会用到的一种形式就是：齐次变换矩阵（Transformation matrix）。他和特殊欧式群的关系密不可分，其定义如下：
特殊欧式群（Special Euclidean Group） S E ( 3 ) SE(3) SE(3)，就是以下 4 × 4 4\times4 4×4实数矩阵 T T T的集合。 T = [ R p 0 1 ] = [ r 11 r 12 r 13 p 1 r 21 r 22 r 23 p 2 r 31 r 32 r 33 p 3 0 0 0 1 ] T=\left[ \begin{array}{cc}{R} & {p} \\ {0} & {1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{r_{11}} & {r_{12}} & {r_{13}} & {p_{1}} \\ {r_{21}} & {r_{22}} & {r_{23}} & {p_{2}} \\ {r_{31}} & {r_{32}} & {r_{33}} & {p_{3}} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right] T=[R0p1]=⎣⎢⎢⎡r11r21r310r12r22r320r13r23r330p1p2p31⎦⎥⎥⎤ 其中 R ∈ S O ( 2 ) , p ∈ R 2 R \in S O(2), p \in \mathbb{R}^{2} R∈SO(2),p∈R2。
变换矩阵的性质：
T − 1 = [ R p 0 1 ] − 1 = [ R T − R T p 0 1 ] T^{-1}=\left[ \begin{array}{cc}{R} & {p} \\ {0} & {1}\end{array}\right]^{-1}=\left[ \begin{array}{cc}{R^{T}} & {-R^{T} p} \\ {0} & {1}\end{array}\right] T−1=[R0p1]−1=[RT0−RTp1]两个变换矩阵相乘还是变换矩阵 ( T 1 T 2 ) T 3 = T 1 ( T 2 T 3 ) \left(T_{1} T_{2}\right) T_{3}=T_{1}\left(T_{2} T_{3}\right) (T1T2)T3=T1(T2T3) T 1 T 2 ≠ T 2 T 1 T_{1} T_{2} \neq T_{2} T_{1} T1T2̸=T2T1 ∥ T x − T y ∥ = ∥ x − y ∥ \|T x-T y\|=\|x-y\| ∥Tx−Ty∥=∥x−y∥， ⟨ T x − T z , T y − T z ⟩ = ⟨ x − z , y − z ⟩ \langle T x-T z, T y-T z\rangle=\langle x-z, y-z\rangle ⟨Tx−Tz,Ty−Tz⟩=⟨x−z,y−z⟩，即保距保角（刚体变换）变换矩阵的用法： 和旋转矩阵的三种用法类似，变换矩阵也有三种用法。
代表刚体的位姿（一种位姿表示方法）改变一个向量或坐标系的参考坐标系（一个改变向量表达的参考坐标系的算子）变换一个向量或坐标系的实际位置（一个转动和平移向量的操作）简单的说，Twist是一个综合了刚体线速度和角速度（或称为spatial velocity）的六维向量。 在前文中，我们已经关于角速度和旋转矩阵的关系进行了分析。这部分中，我们要进一步考量Twist向量（spatial velocity）和变换矩阵的关系。
根据上文的介绍，我们定义{b}系(body系)在{s}系(space系或fixed系)下的表示为： T s b ( t ) = T ( t ) = [ R ( t ) p ( t ) 0 1 ] T_{s b}(t)=T(t)=\left[ \begin{array}{cc}{R(t)} & {p(t)} \\ {0} & {1}\end{array}\right] Tsb(t)=T(t)=[R(t)0p(t)1] 其中， R R R代表 R s b R_{sb} Rsb， p p p代表 p s b p_{sb} psb。
参考前文中有 R − 1 R ˙ R^{-1} \dot{R} R−1R˙，我们可以对 T − 1 T ˙ T^{-1} \dot{T} T−1T˙进行分析： T − 1 T ˙ = [ R T − R T p 0 1 ] [ R ˙ p ˙ 0 0 ] = [ R T R ˙ R T p ˙ 0 0 ] = [ [ ω b ] v b 0 0 ] \begin{aligned} T^{-1} \dot{T} &=\left[ \begin{array}{cc}{R^{T}} & {-R^{T} p} \\ {0} & {1}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{cc}{\dot{R}} & {\dot{p}} \\ {0} & {0}\end{array}\right] \\ &=\left[ \begin{array}{ccc}{R^{T} \dot{R}} & {R^{T} \dot{p}} \\ {0} & {0}\end{array}\right] \\ &=\left[ \begin{array}{cc}{\left[\omega_{b}\right]} & {v_{b}} \\ {0} & {0}\end{array}\right] \end{aligned} T−1T˙=[RT0−RTp1][R˙0p˙0]=[RTR˙0RTp˙0]=[[ωb]0vb0] 我们定义体坐标系下的Twist为： V b = [ ω b v b ] ∈ R 6 \mathcal{V}_{b}=\left[ \begin{array}{c}{\omega_{b}} \\ {v_{b}}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{6} Vb=[ωbvb]∈R6 因此，仿照 [ ω ] [\omega] [ω]的定义，我们运用twist进一步定义了如下记号： T − 1 T ˙ = [ V b ] = [ [ ω b ] v b 0 0 ] ∈ s e ( 3 ) T^{-1} \dot{T}=\left[\mathcal{V}_{b}\right]=\left[ \begin{array}{cc}{\left[\omega_{b}\right]} & {v_{b}} \\ {0} & {0}\end{array}\right] \in {se}(3) T−1T˙=[Vb]=[[ωb]0vb0]∈se(3)
与之类似，我们可以反过来分析 T ˙ T − 1 \dot{T} T^{-1} T˙T−1： T ˙ T − 1 = [ R ˙ p ˙ 0 0 ] [ R T − R T p 0 1 ] = [ R ˙ R T p ˙ − R ˙ R T p 0 0 ] = [ [ ω s ] v s 0 0 ] \begin{aligned} \dot{T} T^{-1} &=\left[ \begin{array}{cc}{\dot{R}} & {\dot{p}} \\ {0} & {0}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{cc}{R^{T}} & {-R^{T} p} \\ {0} & {1}\end{array}\right] \\ &=\left[ \begin{array}{cc}{\dot{R} R^{T}} & {\dot{p}-\dot{R} R^{T} p} \\ {0} & {0}\end{array}\right] \\ &=\left[ \begin{array}{cc}{\left[\omega_{s}\right]} & {v_{s}} \\ {0} & {0}\end{array}\right] \end{aligned} T˙T−1=[R˙0p˙0][RT0−RTp1]=[R˙RT0p˙−R˙RTp0]=[[ωs]0vs0] 这里需要注意，为什么 v s = p ˙ − R ˙ R T p v_s=\dot{p}-\dot{R} R^{T} p vs=p˙−R˙RTp成立呢？ 先看下面这幅图: v s v_s vs这个速度表达的含义可以通过这幅图说明。可以想象有一个边界无限大的运动刚体（即图中椭圆），它与{b}系固连。而 v s v_s vs代表的就是，在某一个瞬时时刻，这个刚体上恰好与{s}系原点对应的那一点的瞬时速度在{s}系下的表示。所以 v s v_s vs应包含两部分，一部分就是{b}系原点与{s}系原点的相对速度，以及{s}系原点相对于{b}系旋转引起的速度。 v s = p ˙ + v r o t = p ˙ + R T ⋅ ( ω b × p b ) = p ˙ + R T ⋅ [ ω b × ( − R p ) ] = p ˙ + R T ω b × ( − R T R p ) = p ˙ − ω s × p = p ˙ − R ˙ R T p \begin{aligned} v_s &= \dot{p}+v_{rot} \\ &= \dot{p}+R^T \cdot (\omega_b\times p_b) \\ &= \dot{p}+R^T \cdot [\omega_b\times (-Rp)]\\ &= \dot{p}+R^T \omega_b \times (-R^TRp) \\ &= \dot{p} - \omega_s \times p \\ &= \dot{p} - \dot{R} R^{T} p \\ \end{aligned} vs=p˙+vrot=p˙+RT⋅(ωb×pb)=p˙+RT⋅[ωb×(−Rp)]=p˙+RTωb×(−RTRp)=p˙−ωs×p=p˙−R˙RTp 我们定义固定坐标系下的Twist为（spatial twist）： V s = [ ω s v s ] ∈ R 6 , [ V s ] = [ [ ω s ] v s 0 0 ] = T ˙ T − 1 ∈ s e ( 3 ) \mathcal{V}_{s}=\left[ \begin{array}{c}{\omega_{s}} \\ {v_{s}}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{6},\left[\mathcal{V}_{s}\right]=\left[ \begin{array}{cc}{\left[\omega_{s}\right]} & {v_{s}} \\ {0} & {0}\end{array}\right]=\dot{T} T^{-1} \in {se}(3) Vs=[ωsvs]∈R6,[Vs]=[[ωs]0vs0]=T˙T−1∈se(3)
根据以上定义，进一步的，我们可以分析body twist V b \mathcal{V}_{b} Vb和spatial twist V s \mathcal{V}_{s} Vs的关系: [ V b ] = T − 1 T ˙ = T − 1 [ V s ] T \begin{aligned}\left[\mathcal{V}_{b}\right] &=T^{-1} \dot{T} \\ &=T^{-1}\left[\mathcal{V}_{s}\right] T \end{aligned} [Vb]=T−1T˙=T−1[Vs]T [ V s ] = T [ V b ] T − 1 \left[\mathcal{V}_{s}\right]=T\left[\mathcal{V}_{b}\right] T^{-1} [Vs]=T[Vb]T−1 V s = [ R [ ω b ] R T − R [ ω b ] R T p + R v b 0 0 ] \mathcal{V}_{s}=\left[ \begin{array}{cc}{R\left[\omega_{b}\right] R^{T}} & {-R\left[\omega_{b}\right] R^{T} p+R v_{b}} \\ {0} & {0}\end{array}\right] Vs=[R[ωb]RT0−R[ωb]RTp+Rvb0] 最终，我们可以得到二者的关系为： [ ω s v s ] = [ R 0 [ p ] R R ] [ ω b v b ] \left[ \begin{array}{c}{\omega_{s}} \\ {v_{s}}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{cc}{R} & {0} \\ {[p] R} & {R}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{c}{\omega_{b}} \\ {v_{b}}\end{array}\right] [ωsvs]=[R[p]R0R][ωbvb] 为了表示方便起见，这里又要引入一个新的定义：adjoint representation [ A d T ] \left[\mathrm{Ad}_{T}\right] [AdT] [ A d T ] = [ R 0 [ p ∣ R R ] ∈ R 6 × 6 \left[\mathrm{Ad}_{T}\right]=\left[ \begin{array}{cc}{R} & {0} \\ {[p | R} & {R}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{6 \times 6} [AdT]=[R[p∣R0R]∈R6×6 [ A d T ] \left[\mathrm{Ad}_{T}\right] [AdT]的性质如下：
Ad T 1 ( Ad T 2 ( V ) ) = Ad T 1 T 2 ( V ) \operatorname{Ad}_{T_{1}}\left(\operatorname{Ad}_{T_{2}}(\mathcal{V})\right)=\operatorname{Ad}_{T_{1} T_{2}}(\mathcal{V}) AdT1(AdT2(V))=AdT1T2(V) [ A d T 1 ] [ A d T 2 ] V = [ A d T 1 T 2 ] V \left[\mathrm{Ad}_{T_{1}}\right]\left[\mathrm{Ad}_{T_{2}}\right] \mathcal{V}=\left[\mathrm{Ad}_{T_{1} T_{2}}\right] \mathcal{V} [AdT1][AdT2]V=[AdT1T2]V [ A d T ] − 1 = [ A d T − 1 ] \left[\mathrm{Ad}_{T}\right]^{-1}=\left[\mathrm{Ad}_{T^{-1}}\right] [AdT]−1=[AdT−1] Ad T − 1 ( Ad T ( V ) ) = Ad T − 1 T ( V ) = Ad I ( V ) ) = V \operatorname{Ad}_{T-1}\left(\operatorname{Ad}_{T}(\mathcal{V})\right)=\operatorname{Ad}_{T-1} T(\mathcal{V})=\operatorname{Ad}_{I}(\mathcal{V}))=\mathcal{V} AdT−1(AdT(V))=AdT−1T(V)=AdI(V))=V所以，最终， V b \mathcal{V}_{b} Vb和spatial twist V s \mathcal{V}_{s} Vs的关系为： V s = [ ω s v s ] = [ R 0 [ p ] R R ] [ ω b v b ] = [ A d T s b ] V b \mathcal{V}_{s}=\left[ \begin{array}{c}{\omega_{s}} \\ {v_{s}}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{cc}{R} & {0} \\ {[p] R} & {R}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{c}{\omega_{b}} \\ {v_{b}}\end{array}\right]=\left[\mathrm{Ad}_{T_{s b}}\right] \mathcal{V}_{b} Vs=[ωsvs]=[R[p]R0R][ωbvb]=[AdTsb]Vb V b = [ ω b v b ] = [ R T 0 − R T [ p ] R T ] [ ω s v s ] = [ A d T b s ] V s \mathcal{V}_{b}=\left[ \begin{array}{c}{\omega_{b}} \\ {v_{b}}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{cc}{R^{T}} & {0} \\ {-R^{T}[p]} & {R^{T}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{c}{\omega_{s}} \\ {v_{s}}\end{array}\right]=\left[\mathrm{Ad}_{T_{\mathrm{bs}}}\right] \mathcal{V}_{s} Vb=[ωbvb]=[RT−RT[p]0RT][ωsvs]=[AdTbs]Vs
