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我们回忆一下傅里叶级数。傅里叶级数要求周期性函数。而别展开式实际上是离散频率的 信号。也就是说，展开式中的频率不是连续的。只有离散的信号。而且仅有下面的频率信 号。
1 2 l , 2 2 l , 3 2 l , . . . , n 2 l , ( n = , 1 , 2 , 3 , . . . . ) \frac{1}{2l},\frac{2}{2l},\frac{3}{2l},...,\frac{n}{2l}, (n=,1,2,3,....) 2l1,2l2,2l3,...,2ln,(n=,1,2,3,....)
不过在这之前，我们来看看傅里叶级数的复数表示形式。我们都知道傅里叶级数的一般表 示形式为，傅里叶级数的复数表示形式和我们一般用的常规表示形式。没有任何区别，只 是因为复数表示形式更为简单而已。
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n c o s ( n π x l ) + b n s i n ( n π x l ) ] f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(\frac{n\pi x}{l})+b_nsin(\frac{n\pi x}{l})] f(x)=2a0+n=1∑∞[ancos(lnπx)+bnsin(lnπx)]
其中 a n , b n a_n,b_n an,bn， 为
a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) c o s ( n π x l ) d x , a_n= \frac{1}{l} \int_{-l}^{l}{f(x)cos(\frac{n\pi x}{l})dx}, an=l1∫−llf(x)cos(lnπx)dx, b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) s i n ( n π x l ) d x , b_n= \frac{1}{l} \int_{-l}^{l}{f(x)sin(\frac{n\pi x}{l})dx}, bn=l1∫−llf(x)sin(lnπx)dx,
利用欧拉公式
c o s ( t ) = e i t + e − i t 2 , s i n ( t ) = e i t − e − i t 2 i cos(t)=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}, sin(t)=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i} cos(t)=2eit+e−it,sin(t)=2ieit−e−it
傅里叶级数可以变为。
a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ [ a n − i b n 2 e i n π x l + a n + i b n 2 e − i n π x l ] \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{a_n-ib_n}{2}e^{i \frac{n\pi x}{l}}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-i \frac{n\pi x}{l}}] 2a0+n=1∑∞[2an−ibneilnπx+2an+ibne−ilnπx]
c 0 = a 0 2 = 1 2 l ∫ − l l f ( x ) d x c_0=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2l} \int_{-l}^{l}{f(x)dx} c0=2a0=2l1∫−llf(x)dx
c n = 1 2 l ∫ − l l f ( x ) e − i n π x l d x = a n − i b n 2 c_n=\frac{1}{2l} \int_{-l}^{l}{f(x)e^{-i \frac{n\pi x}{l}}dx}=\frac{a_n-ib_n}{2} cn=2l1∫−llf(x)e−ilnπxdx=2an−ibn
c − n = 1 2 l ∫ − l l f ( x ) e i n π x l d x = a n + i b n 2 c_{-n}=\frac{1}{2l} \int_{-l}^{l}{f(x)e^{i \frac{n\pi x}{l}}dx}=\frac{a_n+ib_n}{2} c−n=2l1∫−llf(x)eilnπxdx=2an+ibn
最后，我们把形式统一写成
f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ α n e i n π x l f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n e^{\frac{i n \pi x}{l}} f(x)=n=−∞∑∞αnelinπx
α n = 1 2 l ∫ − l l f ( x ) e − i n π x l d x , ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) \alpha_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(x)e^{-i \frac{n \pi x}{l}}dx},(n=0,\pm 1,\pm 2,...) αn=2l1∫−llf(x)e−ilnπxdx,(n=0,±1,±2,...)
周期无穷大。也就是函数整个定义在实数轴上。上一小节中，我们用的周期是 l l l. 当周期为无 穷大时。我们表示为 l → ∞ l\rightarrow \infty l→∞
f ( x ) = lim l → ∞ [ ∑ n = − ∞ ∞ ( 1 2 l ∫ − l l f ( t ) e − i n π t / l d t ) e i n π x / l ] = lim l → ∞ [ ∑ n = − ∞ ∞ ( 1 2 l ∫ − l l f ( t ) e i n π ( x − t ) / l d t ) ] \left. \begin{aligned} f(x)=& \lim_{l\rightarrow \infty}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(t)e^{-in\pi t/l}dt})e^{in\pi x/l}\right]\\ =& \lim_{l\rightarrow \infty}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(t)e^{in\pi (x-t)/l}dt})\right] \end{aligned} \right. f(x)==l→∞lim[n=−∞∑∞(2l1∫−llf(t)e−inπt/ldt)einπx/l]l→∞lim[n=−∞∑∞(2l1∫−llf(t)einπ(x−t)/ldt)]
我们先来看看 l → ∞ l\rightarrow \infty l→∞ 会产生的一些变化。
当l为一定数值的时候。原始信号又离散的一些信号合成。 1 2 l , 2 2 l , 3 2 l , 4 2 l , . . . , n 2 l , ( n = , 1 , 2 , 3 , . . . ) \frac{1}{2l}, \frac{2}{2l}, \frac{3}{2l},\frac{4}{2l},...,\frac{n}{2l}, (n=,1,2,3,...) 2l1,2l2,2l3,2l4,...,2ln,(n=,1,2,3,...)
当 l → ∞ l\rightarrow \infty l→∞意味着什么？
我们看到，当 l l l不断增大的时候，同一个区间里面的离散频率变得越来越稠密了。当 l → ∞ l\rightarrow \infty l→∞，我们得到所有的频率成分。也就是说，我们得到了连续的频 率成分。
接前面的介绍，我们令 λ n = n π l , Δ λ = λ n + 1 − λ n = π l \lambda_n=\frac{n\pi}{l},\Delta \lambda=\lambda_{n+1}-\lambda_n=\frac{\pi}{l} λn=lnπ,Δλ=λn+1−λn=lπ我们得到
f ( x ) = lim l → ∞ ∑ n = − ∞ ∞ [ 1 2 π ∫ − l l f ( t ) e λ n i ( x − t ) d t ] Δ λ f(x)=\lim_{l\rightarrow \infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-l}^{l}{f(t)e^{\lambda_n i (x-t)}dt} \right]\Delta \lambda f(x)=l→∞limn=−∞∑∞[2π1∫−llf(t)eλni(x−t)dt]Δλ
接着我们对当 l → ∞ l\rightarrow \infty l→∞时，我们可以得到下面的等式
f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e i λ ( x − t ) d t d λ f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{i\lambda(x-t)}dt}d\lambda} f(x)=2π1∫−∞∞∫−∞∞f(t)eiλ(x−t)dtdλ f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i λ t d t ) e i λ x d x f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{-i\lambda t}dt}\right)e^{i\lambda x}dx} f(x)=2π 1∫−∞∞(2π 1∫−∞∞f(t)e−iλtdt)eiλxdx 其中我们把
f ^ ( λ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e i λ t d t \widehat{f}(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{f(t)e^{i\lambda t}dt} f (λ)=2π 1∫−∞∞f(t)eiλtdt 叫做傅里叶变换。
那么现在让我们来看看 f ^ ( λ ) \widehat{f}(\lambda) f (λ) vs α n \alpha_n αn 的比较。 α n = 1 2 l ∫ − l l f ( x ) e − i n π x l d x , ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) \alpha_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f(x)e^{-i \frac{n \pi x}{l}}dx},(n=0,\pm 1,\pm 2,...) αn=2l1∫−llf(x)e−ilnπxdx,(n=0,±1,±2,...)
我们可以看出 λ \lambda λ代表的就是频率成分。而 f ^ \widehat{f} f 是 α n \alpha_n αn的取极值的 表示方式。
让我们来看看如何从傅里叶变换，还原计算出原始的没有引入复数表示形式的傅里叶级数 形式。
α n = 1 2 l ∫ − l l f ( x ) e − i n π x l d x = a n − i b n 2 \alpha_n=\frac{1}{2l} \int_{-l}^{l}{f(x)e^{-i \frac{n\pi x}{l}}dx}=\frac{a_n-ib_n}{2} αn=2l1∫−llf(x)e−ilnπxdx=2an−ibn
α − n = 1 2 l ∫ − l l f ( x ) e i n π x l d x = a n + i b n 2 \alpha_{-n}=\frac{1}{2l} \int_{-l}^{l}{f(x)e^{i \frac{n\pi x}{l}}dx}=\frac{a_n+ib_n}{2} α−n=2l1∫−llf(x)eilnπxdx=2an+ibn
如何计算 a n , b n a_n,b_n an,bn就十分的简单了。让我们换成傅里叶变换的一般表示形式，就是
α λ = 1 2 π f ^ ( λ ) = a λ − i b λ 2 \alpha_{\lambda}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\widehat{f}(\lambda)=\frac{a_{\lambda}-ib_{\lambda}}{2} αλ=2π 1f (λ)=2aλ−ibλ α − λ = 1 2 π f ^ ( − λ ) = a λ + i b λ 2 \alpha_{-\lambda}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\widehat{f}(-\lambda)=\frac{a_{\lambda}+ib_{\lambda}}{2} α−λ=2π 1f (−λ)=2aλ+ibλ
解出 a λ , b λ a_{\lambda},b_{\lambda} aλ,bλ，就可以恢复出 λ \lambda λ成分信号 a λ c o s ( λ x ) + b λ s i n ( λ x ) a_{\lambda}cos(\lambda x)+b_{\lambda}sin(\lambda x) aλcos(λx)+bλsin(λx)
我们具体来看看一个函数的傅里叶变换是个什么样子。
f ( x ) = { s i n ( 3 x ) , − π < x < π , 0 , f(x)=\left\{ \begin{aligned} &sin(3x),-\pi<x<\pi,\\ &0, \end{aligned} \right. f(x)={sin(3x),−π<x<π,0, 他的傅里叶变换函数为
3 i 2 π s i n ( π λ ) λ 2 − 9 \frac{3i \sqrt{\frac{2}{\pi}}sin(\pi \lambda)}{\lambda^2-9} λ2−93iπ2 sin(πλ)
这个函数只有虚部我们把图像画出来，如下。
傅里叶变换，和傅里叶级数是紧密联系的。可以说傅里叶变换就是把傅里叶级数取极限。 然后系数的表达式也就是傅里叶变换函数。傅里叶变化，可以让我们观察一个函数
