前文我们提到了CP Mesh能够优化出具有无扭曲支撑节点（Torsion-Free Nodes）的对偶网格结构，在以六边形为主的幕墙结构中具有很好的应用，不仅能够节省成本，还能够增加建造的合理性。更多前文信息请点击：Mesh is Art（5）：Circle Packing Mesh优化及其应用。 本文将继续探讨网格与幕墙优化技术，网格优化技术在幕墙中也有重要的应用（见图1），网格的质量不仅决定了建筑幕墙的美观性，还决定了其造价和建造难度。evolute是一家于2008年由维也纳工业大学（Vienna University of Technology）剥离出来的高科技公司。该公司已经建立了一个由数学家、计算机科学家和工程师组成的专业团队，非常擅长解决各种复杂异形建筑的建造优化问题，并且在学术领域始终走在前列。笔者在学习的过程中，基本上看到的论文都是他们写的，Helmut Pottmann的名字出现过无数次，本文中的绝大部分内容也都是基于该公司的研究。
随着科技的发展，建筑师和工程师们开始挑战越来越复杂的建筑，这使得在建筑的设计和建造过程中，很多问题已经难以根据经验去判断，在建筑的优化阶段，很多优化方法都还没能够探索出具有普适性的解决方案，这也一定程度上造成了建筑设计的大量返工，在复杂建筑建造阶段，对工程造价和建造的掌控也很大程度上影响了最终的建造质量。因此，为了提高复杂建筑的落地性和建成成功率，建筑师和工程师有必要了解更多关于几何学的知识，建立一个坚实的几何理论认知体系（比如是对自由形体形状优化的适应性的理解），并将它们应用于实际项目的设计与建造中。
目前，自由形态的建筑大多基于离散曲面，用直白的语言来讲，这种基于离散曲面的设计建造就是将设计模型中的光滑复杂曲面，用离散网格的形式进行深化设计，并最终落实到建造上的一种从设计到建造的工作流程。这一过程主要靠玻璃-钢结构来实现(见图2)，因为这是最基本、最方便、并同时兼具结构意义的一种建造方式。图中展示的是一家购物中心（Zlote Tarasy，位于波兰华沙）的曲面玻璃-钢结构的幕墙设计，可以看出，这个建筑的幕墙是采用三角形为基本离散单元进行设计和建造的。
Figure 2：采用三角形为基本离散单元进行设计和建造的一家购物中心（Zlote Tarasy，位于波兰华沙） 图片来源：Google不过，在多数情况下，三角形网格会带来一些问题，这在下文会继续探讨，我们需要知道的是，相比于三角形网格，平板四边形网格（Planar Quad Meshes，后简称PQ Mesh）更具有吸引力。在当代的制造方式的前提下，相对三角网格，PQ Mesh具有能使幕墙变得更轻，减少更多的材料浪费，并且其节点更容易制造等优势。当然，PQ Mesh的生成设计在几何上要比三角形网格复杂得多，尤其是在曲面边缘的划分上，需要考虑幕墙的美观性，嵌板是否为平板，以及如何对支撑梁结构上的节点进行优化。
当我们使用离散的形式来表达自由曲面时，网格优化就变得尤为重要了，因为网格划分不仅决定了建筑的美观程度，还决定了建造成本和施工难度，因此如何将网格优化的优化目标与实际加工和建造相结合也变成了近年那来计算机图形学和离散几何学专家们的热门话题。
接下来我们来添加一些设计中的需求。为了尽可能低成本地加工这些网格，我们需要对这些三角网格的边长和角度施加一些约束。如图4，初始三角网格M中的网格平均边长过短，造成了在建造中需要大量的面片，这使得幕墙会变得更重（因为玻璃占比减少而钢梁占比增加）而且造价也变得更高昂。因此，以美观和低造价为优化目标，我们需要重新设计这个网格，即对网格采取Remeshing处理。Remeshing的原则是将输入网格先映射到平面上，在平面上重新划分网格，再将其映射回自由曲面。
Figure 4：初始网格M的平均边长过短，导致幕墙变得很重而且造价高昂。需采取一个Remeshing方案：先将网格映射到平面，待重新划分好粗糙网格再映射回来，这样优化后的网格M1就具有低成本建造的可能性。 图片来源：《Architectural Geometry》在这个优化过程中，核心问题是如何找到一个边界拓扑形状与初始网格的边界拓扑形状相似的平面图形。当然，这个参数化问题已经在计算机图形学领域被广泛研究，很多软件也都能实现这项技术（比如我们开发的Ameba），这些研究成果能给建筑师在自由曲面的设计上带来极大的帮助。
从曲面的离散表达角度来看，三角形网格易于处理，能够满足一定的精度要求，甚至在美观性上也很不错，而且当我们使用三角形网格时，其静力学分析会变得简单。但是，三角形网格具有以下几个缺点，相较之下，平面四边形网格（PQ Mesh）更具吸引力。
在玻璃-钢构件为主的建造中，使用三角形网格，意味着每一个顶点将会有六条钢梁通过，这将大幅增加节点的建造和加工的复杂度；经验表明，三角形玻璃板的造价要高于四边形玻璃板。这是因为在加工时，玻璃板通常是四边形板材，相对于四边形，三角形在摆放时难以拟合四边形板材，因此更容易造成浪费；一般来说，我们倾向于使用更多的玻璃和更少的钢梁，三角形网格所用的钢梁显然要比四边形多很多；对于实际建造，节点优化（无扭曲节点（Torsion-Free Nodes）的优化）是非常重要的（这在后面会继续讨论），然而从几何理论上可知（在前文中也证明过），三角形网格无法生成无扭曲节点（但是其对偶网格可以）；除了一些非常简单的情况，三角形网格在偏移时，其面与面、边与边之间的距离上通常存在偏差。因此在多层幕墙结构中使用三角形是不现实的，它难以满足基本的多层幕墙结构之间尽可能保持平行的条件。如图5所示，经常使用同时具有Nurbs和Mesh的CAD类软件的人应该再熟悉不过了，我们可以通过旋转、挤出、Pipe和扫掠等方法来生成曲面，这些生成方法的特点是其结果均为单一曲面，基于这些曲面，我们很容易沿着曲面的uv线来划分出四边形网格（见图6），因此我们可以将这些四边形网格视作为单一曲面的离散版本，并且它们的平板化也是很容易处理的，具体的平板化算法我们先放到一边。
Figure 5：CAD类常见的曲面生成方法。 图片来源：《Architectural Geometry》 Figure 6：单一曲面的离散版。 图片来源：《Architectural Geometry》下面我们举一个旋转PQ Mesh的例子来继续探讨。如图7，我们先通过绕轴旋转成形的方法来生成一个光滑的旋转曲面，然后通过算法生成PQ Mesh M，为了解释PQ Mesh的作用，我们暂且抛开生成方法。其网格面分别沿着该曲面的平行圆（黑色线）和子午线（红色线）分布。可以看出，该网格是由两个族构成：族A为横向剖切旋转曲面时生成的平行圆（黑色圆），族B为各过旋转曲面轴线的平面与曲面的交线，即子午线（红色线）。图中子午线和平行圆相交，构成了若干条strip（绿色网格面形成的两条Strip），由于网格是PQ Mesh所以这里我们将它们记作PQ Strip，不难想象，此时这些PQ Strip都是可展的（见图8）。
Figure 7：一个绕轴旋转成形的PQ Mesh，网格面分别沿着该曲面的平行圆（黑色线，记作族A）和子午线（红色线）分布。 图片来源：《Architectural Geometry》如图8所示，如果我们把沿着平行圆的某一条PQ Strip单独拿出来看，以子午线与平行圆的交点作为分割线，我们会发现这条PQ Strip是位于一个圆锥曲面上的。同样地，如果把沿着子午线的某一条PQ Strip拿出来，以子午线与平行圆的交点作为分割线，我们会发现这条PQ Strip是位于一个圆柱曲面上的。根据这两个族的性质（平行圆和子午线）可以推广到共轭网络的概念，这在PQ Mesh的设计中非常重要。具体的数学证明以及更详细的内容可以参照论文《Geometric Modeling with Conical Meshes and Developable Surfaces》。
Figure 8：一个绕轴旋转成形的PQ Mesh，网格面分别沿着该曲面的平行圆（黑色线，记作族A）和子午线（红色线）分布。 图片来源：《Architectural Geometry》那么对于光滑曲面S上给定的两个曲线族（分别记作A和B），如果两个族形成的网络中任意从一族中挑出一条曲线c，它的每一个点都能计算从曲线C到另一族的切线，那么我们称这两个曲线族形成了一个共轭曲线网。 上文的旋转PQ Mesh的两个族就具备了这个性质。在平行圆中任意挑出一个圆，每一条子午线与圆的交点的切线形成了一个圆锥曲面；在子午线中任意挑出一根曲线，每一个平行圆与子午线的切线形成了一个圆柱曲面。并且它们都是可展的。
以上的例子都十分简单，它们只是为了说明问题，但是有一点需要注意，即自由曲面S不止包含了一个共轭曲线网，在曲面S上可以有无穷多个共轭曲线网。
我们先来讨论共轭曲线网的实现方法：首先需要确定一个曲线族A，根据族A上一条曲线c上的点，那么只要将曲线c在该点处的法向方向投影到该点的在曲面上的切平面，就能获得共轭族B中过该点的曲线的方向，我们就很容易求出整个共轭族B，即可生成一个位于曲面S上的共轭曲线网（见图9）。
Figure 9：共轭曲线网的几何表达。两个共轭族形成了一个可展曲面。 图片来源：《Architectural Geometry》 Figure 10：一张双曲抛物面上的不同共轭曲线网：(a）将双曲抛物面看作共轭双轨扫掠生成的曲面，那么我们可以将两个轨作为两个族来生成共轭曲线网。（2）根据主曲率线来生成共轭曲率网。（3）相交曲线(红色)与通过一个轴的平面及其共轭曲线(黑色)。在这种情况下，黑色曲线也位于过轴的平面上。 图片来源：《Architectural Geometry》如图10所示，共轭曲线网可以有无穷多种，那么我们不禁会发问，是否对于任意曲面S都包含有一个具有正交性和共轭性的曲线网？答案是肯定的，即主曲率网（可见《Architectural Geometry》中第14章的讨论）。
主曲率网不仅具有诸多优秀的几何属性，还具有不错的美观性（见图11），所以沿着主曲率线来划分PQ Mesh是非常好的选择。但是这也意味着，由于主曲率线是独特的，沿着主曲率线划分出来的网格方向是不可修改的，这就对设计师带来了一定的限定，会使设计原则过于依赖主曲率线。
Figure 11：曲面上的点的两条主曲率线所构成的平面正交于该点在曲面处的法向并正交于该点在曲面上的切平面。 图片来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Principal_curvature说了这么一大堆共轭曲线网的原因是，PQ Mesh可以看作是共轭曲线网的离散版本。对于一些特殊的PQ Mesh，它们是主曲率线网的离散版本，这些网格在这里只是暂且一提，后面关于偏移的文章中还会继续深入讨论。这里我们先解释一个网格概念，即圆形网格（Circular Meshes），圆形网格是指每一张面上的顶点都共圆的网格，可以是四边形共圆也可以是六边形共圆。四点共圆的PQ Mesh可以被视作是主曲率线网的离散版本，它的各个四边形面都与主曲率线方向对齐，这样的网格能够表达曲面形状特征。
Figure 12：四点共圆的PQ Mesh可以被视作是主曲率线网的离散版本，它的各个四边形面都与主曲率线方向对齐，这样的网格能够表达曲面形状特征。 图片来源：《Architectural Geometry》关于PQ Mesh相关的几何知识，暂且讨论至此，以上绝大部分内容均来自《Architectural Geometry》。关于PQ Mesh的生成算法，我打算放在后面的文章中在讨论，本文就全部是关于优化后的网格在幕墙中的应用。参考文献先放在这，有兴趣的读者可以先了解《General Planar Quadrilateral Mesh Design Using Conjugate Direction Field》。
一个基于网格的玻璃-钢构件可以被视作是网格的顶点、边和面的物理实现。相反，网格可以被视作这种结构的数学抽象。然而，从混凝土结构到抽象网格的过渡并不只有一层的。有时候我们需要多层网格来实现，如图19.16所示，这很自然地决定了这些不同层之间相对应地网格是互相平行的。
Figure 13：基于两个平行网格M，M*（两网格之间的距离近似恒定）的多层结构示意图。下图展示了具有结构功能的玻璃幕墙。右图展示了一个玻璃幕墙的基本结构，层与层之间的封闭空间具有绝缘功能。 图片来源：《Architectural Geometry》如果两个网格M，M的顶点、边和面之间存在一一对应关系（这两个网格是组合等价的(combinatorially equivalent)）并且对应边是平行的，那么我们称这两个网格M,M是平行的。通常我们只有在当网格M的面是平面时才会使用这个定义（可以不是四边形网格，但绝大多数情况都是用四边形网格），因为平行网格的对应边是平行的，而它们的面又是平板，所以对应面也是平行于同一平面的。
那么这有什么用呢？我们先来看看没有优化处理过的幕墙结构中存在的问题。
对于一个没有优化过的四边形网格曲面，我们想用钢梁构件来实现它。一个最简单最无脑的方法是将所有网格边沿着垂直方向挤出（见图14）。这样的操作能使每根梁都保持平面，在节点处，梁的中心平面也都相交于一根轴了，这可以很容易地加工出来，但是这种钢梁所支撑的面板就难以做到平板，每一个面板都会是复杂的异形图形。况且，在大多数情况我们需要让梁的截面方向是垂直于曲面的，这样既美观也方便了安装。
Figure 14：沿着垂直方向挤出的四边形网格。 图片来源：Daniel Piker但是如果没有做过优化处理，只是将顶点沿着它们的法线方向偏移，再将偏移后的网格边与其对应的原网格边相连来作为梁的中心面的话，会发现这些梁都是扭曲的（见图15），因为每根梁连接的两个节点的法向不在同一平面上。
Figure 15：未经优化处理，直接沿顶点法向挤出的网格肋的中心面是扭曲的。 图片来源：Daniel Piker 为了制造这样的结构，要么必须制造扭曲的梁，要么需要制造平面梁。对于平面梁，如图16，其节点处就需要有一个非常复杂的节点构件来避免扭曲，这两种方法都大幅增加了幕墙成本。 Figure 16：未经优化处理，强行制造平板梁会造成节点的扭曲变形，这需要制造复杂的无轴节点来抵消扭曲。 图片来源：Daniel Piker因此，为了保证面板的平面性、梁不会发生扭曲、节点共轴以及梁的高度等距，我们需要做幕墙优化。
为了解决上述问题，就需要对网格进行优化，优化后的梁和节点如图17所示，当一根梁的中心平面（蓝色平面）位于网格边时，那么由网格边偏移生成的梁是相对于其中心平面是对称的。工程中的节点对应着网格M的顶点，通过某种方式连接着各种过该点的梁，并支撑着梁传来的力。
Figure 17：基于两个平行网格M（顶点用m1,m2表达），M*（顶点用m1*,m2*表达）生成的构件局部，它们的梁是关于其中心平面（蓝色平面）对称的。此外，两平行网格的对应节点形成了一个轴，各相邻的蓝色平面均相交于该轴处（即相邻的蓝色平面是共轴的），也就是说支撑梁的中心平面通过了节点轴。 图片来源：《Architectural Geometry》正如上文所述，如果要实现平面梁，不做优化处理的话，我们的轴是脱开的，脱开情况下需要制造十分复杂的无轴节点来抵消扭曲，如图18，很显然，加工处理这种扭曲的节点要比共轴的无扭曲节点要复杂得多（这种共轴的节点就是我们上一篇文章中提到的无扭曲节点（Torsion-Free Nodes））。
Figure 18：无轴节点构件。 图片来源：《Architectural Geometry》下面就是offset的问题了，我们得到了优化好的PQ Mesh M后，如果仅仅是这样的话，在偏移的过程中仍会有很多问题，那么应该沿着什么方向偏移出它的平行网格M呢？ 对于一个给定的PQ Mesh M和其平行于M的PQ网格M，如果两个网格的对应顶点共轴，那么我们可以将两网格的对应顶点连接起来形成网格肋，此时，网格M*可以视作是M的偏移网格，如图19。
Figure 19：两互相平行的网格通过顶点相连形成的网格肋。 图片来源：《Architectural Geometry》如果所有的四边形网格肋都具有相同的高度，那么两网格M和M的关系为平行且边缘处处等距，我们称网格M是由网格M通过边偏移（Edge Offset）得到的。接着，这种等距的梁在幕墙的内外部是完美对齐的（因此优化后的幕墙理论上是水密的，如图20），如果不是通过边偏移得到的话，那么梁就只能在幕墙的一侧保持对齐，见图21。
Figure 20：如果两个平行网格M和M*可以通过边偏移得到彼此，那么生成的等高度梁完美对齐于构件两侧。 图片来源：《Architectural Geometry》 Figure 21：由两个平行网格定义的网格肋不是通过边偏移得到的，导致它只齐了一侧，尽管从外部看很难看出区别，但是从内部看就很明显。注意这个节点仍然是没有扭曲的，并且是共轴的。 图片来源：《Architectural Geometry》总之，当我们优化成了合理的PQ Mesh，再将网格沿着其顶点法向偏移后，就能得到一个Torsion-Free支撑结构。一方面它产生的梁的中心面是平面，并且节点处是共轴的。那么初步总结一下，PQ Mesh优化所带来的优点：
优化后的双层平行网格中的每个面片都是平面面片。Torsion-Free节点，节点共轴，并且轴垂直于曲面，易于制造和组装。梁的中心平面交于节点轴，不会产生扭曲。最终的优化结果，我们能够得到这样的网格幕墙结构（见图22）：
所有的面板都是平板；所有的梁都是直梁没有扭曲；所有的节点都是共轴节点；每一根梁的截面都是完全相等的。 Figure 22：经过网格优化算法生成的幕墙。 图片来源：作者自制，使用Ameba生成的幕墙结构《Architectural Geometry》 《Geometric Modeling with Conical Meshes and Developable Surfaces》 《General Planar Quadrilateral Mesh Design Using Conjugate Direction Field》 《Geometry and Freeform Architecture》 《Design and Panelization of Architectural Free-Form Surfaces by Planar Quadrilateral Meshes》 《Case Studies in Cost-Optimized Paneling of Architectural Freeform Surfaces》 《The Focal Geometry of Circular and Conical Meshes》
