扩展欧几里德算法
先介绍什么叫做欧几里德算法 有两个数 a b，现在，我们要求 a b 的最大公约数，怎么求？枚举他们的因子？不现实，当 a b 很大的时候，枚举显得那么的naïve ，那怎么做？ 欧几里德有个十分又用的定理： gcd(a, b) = gcd(b , a%b) ，这样，我们就可以在几乎是 log 的时间复杂度里求解出来 a 和 b 的最大公约数了，这就是欧几里德算法，用 C++ 语言描述如下： 由于是用递归写的，所以看起来很简洁，也很好记忆。那么什么是扩展欧几里德呢？ 现在我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd ，那么，我们一定能够找到这样的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程（其实是一种丢番图方程），有多解是一定的，但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么，我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解： x = x0 + (b/gcd)*t y = y0 – (a/gcd)*t 为什么不是： x = x0 + b*t y = y0 – a*t 这个问题也是在今天早上想通的，想通之后忍不住喷了自己一句弱逼。那是因为： b/gcd 是 b 的因子， a/gcd 是 a 的因子是吧？那么，由于 t的取值范围是整数，你说 (b/gcd)*t 取到的值多还是 b*t 取到的值多？同理，(a/gcd)*t 取到的值多还是 a*gcd 取到的值多？那肯定又要问了，那为什么不是更小的数，非得是 b/gcd 和a/gcd ？ 注意到：我们令 B = b/gcd ， A = a、gcd ， 那么，A 和 B 一定是互素的吧？这不就证明了 最小的系数就是 A 和 B 了吗？要是实在还有什么不明白的，看看《基础数论》（哈尔滨工业大学出版社），这本书把关于不定方程的通解讲的很清楚 现在，我们知道了一定存在 x 和 y 使得 ： a*x + b*y = gcd ， 那么，怎么求出这个特解 x 和 y 呢？只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。 我们观察到：欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 ，那么，这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢？因为，这时候，只要 a = gcd 的系数是 1 ，那么只要 b 的系数是 0 或者其他值（无所谓是多少，反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1），这时，我们就会有： a*1 + b*0 = gcd 当然这是最终状态，但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢？ 假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ， 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？ 我们知道： a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我们可以进一步得到： gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1 = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1 = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1) 对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否发现了什么？ 这里： x = y1 y = x1 – a/b*y1 以上就是扩展欧几里德算法的全部过程，依然用递归写： 依然很简短，相比欧几里德算法，只是多加了几个语句而已。 这就是理论部分，欧几里德算法部分我们好像只能用来求解最大公约数，但是扩展欧几里德算法就不同了，我们既可以求出最大公约数，还可以顺带求解出使得： a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y 扩展欧几里德有什么用处呢？ 求解形如 a*x +b*y = c 的通解，但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来，都是让你在通解中选出一些特殊的解，比如一个数对于另一个数的乘法逆元 什么叫乘法逆元？ 这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元 这怎么求？可以等价于这样的表达式： a*x + m*y = 1 看出什么来了吗？没错，当gcd(a , m) != 1 的时候是没有解的这也是 a*x + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0 接着乘法逆元讲，一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？可以这样思考：
x 的通解不是 x0 + m*t 吗？ 那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。 可能有人注意到了，这里，我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ，但是想想一下就明白了，gcd = 1，所以写了跟没写是一样的，但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？ 当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：肥宅不快乐 描述
Wh学长喝完了快乐水之后意识到该去减肥跑步了，然后去了操场，发现lly 和 hwj已经在跑步了，lly已经跑了b 米，然后每跑a米停下休息一下，忽视休息时间，hwj已经跑了d米，每跑c米休息一下，wh想在他们跑到同一长度并且在休息的时候加入他们，请问最少是在多少米处wh可以加入他们
输入
第一行输入两个整数a，b，第一行输入两个整数c，d(a,b,c,d < 5*10^{8}a,b,c,d<5∗10 8 )
输出
最短米处（如果没有，wh就不用跑了，输出happy）
输入样例 1
20 2 9 19 输出样例 1
82 提示
y1 = a * x1 + b
y2 = c * x2 + d
求 y1 = y2 的最小整数解
exgcd
#include<iostream> using namespace std; typedef long long l; void swap(l *x,l *y){ l temp; temp=*x; *x=*y; *y=temp; } l exgcd(l a,l b,l &x,l &y){ if(b==0){ x=1; y=0; return a; } l ans=exgcd(b,a%b,x,y); l temp=x; x=y; y=temp-a/b*y; return ans; } int main(){ l a,b,c,d,temp,x=0,y=0; cin>>a>>b>>c>>d; if(d<b){ swap(&a,&c); swap(&b,&d); } l n=exgcd(a,c,x,y); if((d-b)%n==0){ l x1,c1=c/n; x1=(x+c1)*((d-b)/n); x1=(x1%c1+c1)%c1; cout<<abs(x1)*a+b; } else cout<<"happy"; return 0; }肥宅快乐水 描述
Wh学长有一瓶肥宅快乐水，这个瓶的容量是a 升，但是wh在回去的路上被lly 和 hwj 发现了他的肥宅快乐水，于是他们准备瓜分wh的快乐水，他们两个手上持有容量为b 和c 升的 杯子，他们的杯子内已有的快乐水为 x，y，z。他们想分出一瓶f升的快乐水给wh，现在你来帮他们算算能不能按照要求分(只要分出一个杯子里有f升就行,wh并不介意）
输入
第一行输入a，b，c三个值（满足a>b>c ）第二行输入x，y，z三个值第三行输入f值
输出
能分就输出“Yes”，不能就输出“No”
输入样例 1
12 8 5 12 0 0 6 输出样例 1
Yes 提示
每次倒入瓶子的时候是无法精准控制倒入多少的，不可以从装满12升的瓶子往8升的空瓶子里面倒入2升
上述例子详解：
4 8 0
4 3 5
9 3 0
9 0 3
1 8 3
1 6 5
bfs（模拟会超时）
#include<iostream> #include<stdio.h> using namespace std; int A,B,C; void A_to_B(int &a,int &b,int &c) { if(a>=B) { a=a-B; b=B; } else { b=a; a=0; } cout<<a<<' '<<b<<' '<<c<<endl; } void B_to_C(int &a,int &b,int &c) { if(b>=C) { b=b-(C-c); c=C; } else { c=b; b=0; } cout<<a<<' '<<b<<' '<<c<<endl; } void C_to_A(int &a,int &b,int &c) { a=a+c; c=0; cout<<a<<' '<<b<<' '<<c<<endl; } int main() { int a,b,c,t; int s_a,s_b,s_c; scanf("%d,%d,%d,%d,%d,%d,%d",&A,&B,&C,&a,&b,&c,&t); s_a=a; s_b=b; s_c=c; while(a!=t&&b!=t&&c!=t) { if(b==0) A_to_B(a,b,c); if(c==C) C_to_A(a,b,c); else if(b!=0) B_to_C(a,b,c); if(a==s_c&&b==s_b&&c==s_c) { cout<<"不可能"<<endl; break; } } return 0; }gcd
#include<iostream> using namespace std; typedef long long l; l gcd(l a,l b){ if(b==0) return a; l d=gcd(b,a%b); return d; } int main(){ l a,b,c,x,y,z,f; cin>>a>>b>>c>>x>>y>>z>>f; if(f>(x+y+z)||f>a) cout<<"No"<<endl; else{ l n=gcd(b,c); if(f%n==0) cout<<"Yes"<<endl; else cout<<"No"<<endl; } return 0; }