什么是逻辑回归？
Logistic回归与多重线性回归实际上有很多相同之处，最大的区别就在于它们的因变量不同，其他的基本都差不多。正是因为如此，这两种回归可以归于同一个家族，即广义线性模型（generalizedlinear model）。
这一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因变量不同。
如果是连续的，就是多重线性回归；如果是二项分布，就是Logistic回归；如果是Poisson分布，就是Poisson回归；如果是负二项分布，就是负二项回归。Logistic回归的因变量可以是二分类的，也可以是多分类的，但是二分类的更为常用，也更加容易解释。所以实际中最常用的就是二分类的Logistic回归。
Logistic回归的主要用途：
寻找危险因素：寻找某一疾病的危险因素等；预测：根据模型，预测在不同的自变量情况下，发生某病或某种情况的概率有多大；判别：实际上跟预测有些类似，也是根据模型，判断某人属于某病或属于某种情况的概率有多大，也就是看一下这个人有多大的可能性是属于某病。Logistic回归主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率，等等。例如，想探讨胃癌发生的危险因素，可以选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。这里的因变量就是是否胃癌，即“是”或“否”，自变量就可以包括很多了，例如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既可以是连续的，也可以是分类的。
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常规步骤
Regression问题的常规步骤为：
寻找h函数（即hypothesis）；构造J函数（损失函数）；想办法使得J函数最小并求得回归参数（θ）构造预测函数h
Logistic回归虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，主要用于两分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别），所以利用了Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为：
Sigmoid 函数在有个很漂亮的“S”形，如下图所示（引自维基百科）：
下面左图是一个线性的决策边界，右图是非线性的决策边界。
对于线性边界的情况，边界形式如下：
构造预测函数为：
函数的值有特殊的含义，它表示结果取1的概率，因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为：
构造损失函数J
Cost函数和J函数如下，它们是基于最大似然估计推导得到的。
下面详细说明推导的过程：
（1）式综合起来可以写成：
取似然函数为：
对数似然函数为：
最大似然估计就是求使取最大值时的θ，其实这里可以使用梯度上升法求解，求得的θ就是要求的最佳参数。但是，在Andrew Ng的课程中将取为下式，即：
因为乘了一个负的系数-1/m，所以取最小值时的θ为要求的最佳参数。
梯度下降法求的最小值
θ更新过程：
θ更新过程可以写成：
向量化Vectorization
Vectorization是使用矩阵计算来代替for循环，以简化计算过程，提高效率。
如上式，Σ(...)是一个求和的过程，显然需要一个for语句循环m次，所以根本没有完全的实现vectorization。
下面介绍向量化的过程：
假设模型：
公式为：
将上述公式向量化：
其中 ，由于(h-y)维度是m*1，X也是m*1，所以需对X转置。
具体推导过程请参考：Vectorized Logistic Regression
正则化Regularization
过拟合问题
对于线性回归或逻辑回归的损失函数构成的模型，可能会有些权重很大，有些权重很小，导致过拟合（就是过分拟合了训练数据），使得模型的复杂度提高，泛化能力较差（对未知数据的预测能力）。
下面左图即为欠拟合，中图为合适的拟合，右图为过拟合。
问题的主因
过拟合问题往往源自过多的特征。
解决方法
1）减少特征数量（减少特征会失去一些信息，即使特征选的很好）
可用人工选择要保留的特征；模型选择算法；2）正则化（特征较多时比较有效）
保留所有特征，但减少θ的大小
正则化方法
正则化是结构风险最小化策略的实现，是在经验风险上加一个正则化项或惩罚项。正则化项一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则化项就越大。
从房价预测问题开始，这次采用的是多项式回归。左图是适当拟合，右图是过拟合。
直观来看，如果我们想解决这个例子中的过拟合问题，最好能将的影响消除，也就是让。假设我们对进行惩罚，并且令其很小，一个简单的办法就是给原有的Cost函数加上两个略大惩罚项，例如：
这样在最小化Cost函数的时候，。
正则项可以取不同的形式，在回归问题中取平方损失，就是参数的L2范数，也可以取L1范数。取平方损失时，模型的损失函数变为：
lambda是正则项系数：
如果它的值很大，说明对模型的复杂度惩罚大，对拟合数据的损失惩罚小，这样它就不会过分拟合数据，在训练数据上的偏差较大，在未知数据上的方差较小，但是可能出现欠拟合的现象；如果它的值很小，说明比较注重对训练数据的拟合，在训练数据上的偏差会小，但是可能会导致过拟合。正则化后的梯度下降算法θ的更新变为：
正则化后的线性回归的Normal Equation的公式为：
其他优化算法
Conjugate gradient method(共轭梯度法)Quasi-Newton method(拟牛顿法)BFGS methodL-BFGS(Limited-memory BFGS)后二者由拟牛顿法引申出来，与梯度下降算法相比，这些算法的优点是：
第一，不需要手动的选择步长；第二，通常比梯度下降算法快；但是缺点是更复杂。
多类分类问题
对于多类分类问题，可以将其看做成二类分类问题：保留其中的一类，剩下的作为另一类。
对于每一个类 i 训练一个逻辑回归模型的分类器，并且预测y = i时的概率；对于一个新的输入变量x, 分别对每一个类进行预测，取概率最大的那个类作为分类结果：
