1. 距离、向量空间、度量空间、线性度量空间
距离包括各个点之间的距离，向量之间的距离，曲线之间的距离，函数之间的距离等。
距离用于衡量同一空间不同元素之间的差异，下面是关于距离的属性：
1）元素之间的距离大于等于0，若距离等于0则为相同元素。d(x,y)>=0 x=y时 d(x,y)=0
2）A到B的距离等于B到A的距离。d(x,y)=d(y,x)
3）满足三角不等式。d(x,y)<=d(x,c)+d(c,y)
拥有距离的空间叫做度量空间。
线性结构，如向量的加法、数乘，使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元；数乘的交换律、单位一；数乘与加法的结合律（两个）共八点要求：
1）交换律 x+y=y+x
2) 结合律 (x+y)+z=x+(y+z)
3) 零元素 x+0=x
4) 负元素 在空间中每一个元素x，都有元素y，使得x+y=0
5) 1x=x
6) k(lx)=(kl)x
7) (k+l)x=kx+lx
8) k(x+y)=kx+ky
从而形成一个线性空间，这个线性空间就是向量空间，线性空间又叫向量空间。
度量空间+线性结构⟶线性度量空间
2. 范数、赋范空间、度量空间与赋范空间的关系
范数的概念，表示某点到空间零点的距离：
1. ||x|| ≥0; 2. ||ax||=|a|||x||; 3. ||x+y||≤||x||+||y||。
拥有范数的空间称为赋范空间。赋范空间一定是度量空间。
赋范空间+线性结构⟶线性赋范空间
3. 内积、内积空间、欧几里得空间
内积：
设K是实数域或复数域，H是K上线性空间，如果对H中任何两个向量x，y，都对应着一个数(x，y)∈K，满足条件：
1.(共轭对称性)
2.(对第一变元的线性性)对任何x，y，z∈H及α，β∈K，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z).
3.(正定性)对一切x∈H，有(x，x)≥0且(x，x)=0⇔x=0
在范数的概念上加了角度限制条件。拥有内积的空间叫做内积空间。内积空间一定是赋范空间。
有限维内积空间是欧几里得空间。欧几里得空间是一个定义了内积的实数域上的向量空间。
4. 完备性、希尔伯特空间、巴拿赫空间
集合中的元素取极限不超出此空间称其具有完备性。
例如：有理数组成的一个集合{1，1.4，1.41，1.414，1.4142…}，此集合极限为√2，而√2是无理数，不是有理数，即有理数不具备完备性。一个通俗的理解是把学校理解为一个空间，你从学校内的宿舍中开始一直往外走，当走不动停下来时（极限收敛），发现已经走出学校了（超出空间），不在学校范围内了（不完备了）。
赋范空间+完备性⟶巴拿赫空间
内积空间(无限维)+完备性⟶ 希尔伯特空间
换个角度来理解函数空间，如泰勒展开，是将f(x)表示为{}的线性组合的形式；比如傅里叶展开，是将f(x)表示成无限三角函数线性组合的形式。而{}或无限维的三角函数，也叫作一个函数空间的基。
5.拓扑空间
以上都是距离或者线性空间的基础上逐渐增加条件，那如果尝试减少条件呢？比如不要角度的概念，甚至不要距离的概念。比如“连续”的定义：对所有的即为连续。或者写成。
换句话说，拓扑是元素X与其规则合起来。所以，拓扑是弱化了的距离，能描述的范围最广泛。
距离⟶范数⟶内积 范数⟶ 赋范空间+线性结构⟶线性赋范空间+内积运算⟶内积空间+完备性+无限维⟶希尔伯特空间 内积空间+有限维⟶欧几里德空间 赋范空间+完备性⟶巴拿赫空间
参考：
https://www.cnblogs.com/keye/p/10748980.html
https://blog.csdn.net/shijing_0214/article/details/51052208
https://blog.csdn.net/qq_34099953/article/details/84190508
