题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n \times mn×m的矩阵，矩阵中的每个元素a_{i,j}ai,j​均为非负整数。游戏规则如下：

每次取数时须从每行各取走一个元素，共nn个。经过mm次后取完矩阵内所有元素；每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值\times 2^i×2i，其中ii表示第ii次取数（从11开始编号）；游戏结束总得分为mm次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件包括n+1n+1行：

第11行为两个用空格隔开的整数nn和mm。

第2\backsim n+12∽n+1行为n \times mn×m矩阵，其中每行有mm个用单个空格隔开的非负整数。

P1005 矩阵取数游戏 

 

输出格式：

 

输出文件仅包含11行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

 

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2 3 1 2 3 3 4 2

输出样例#1： 复制

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说明

NOIP 2007 提高第三题

数据范围：

60%的数据满足：1<= n,m≤30，答案不超过10^{16}1016 100%的数据满足：1]≤n,m≤80，0 \le a_{i,j} \le 10000≤ai,j​≤1000

题目解析：这道题目一半的测试数据会超过long long 的数据范围，显然需要用大数的模板，这道题目是我第一次使用大数高精模板，效果还不错，就是板子需要打很久，用起来还是很轻松。

除了大数之外，另外的考察点为区间dp,dp[i][j]表示[i,j]范围的局部最优解，从而得到动态转移方程为：

dp[i][j]=max(dp[i+1][j]*2+a[i]*2,dp[i][j-1]*2+a[i]*2),至于推导建议去看动态dp的算法过程和实现。

下面贴上我AC的代码，由于大数高精板子，代码非常长。

#include<iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; #define MAXN 9999 #define MAXSIZE 1010 #define DLEN 4 class BigNum { private: int a[100]; //可以控制大数的位数 int len; public: BigNum(){len=1;memset(a,0,sizeof(a));} //构造函数 BigNum(const ll); //将一个int类型的变量转化成大数 BigNum(const char*); //将一个字符串类型的变量转化为大数 BigNum(const BigNum &); //拷贝构造函数 BigNum &operator=(const BigNum &); //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算 friend istream& operator>>(istream&,BigNum&); //重载输入运算符 friend ostream& operator<<(ostream&,BigNum&); //重载输出运算符 BigNum operator+(const BigNum &)const; //重载加法运算符，两个大数之间的相加运算 BigNum operator-(const BigNum &)const; //重载减法运算符，两个大数之间的相减运算 BigNum operator*(const BigNum &)const; //重载乘法运算符，两个大数之间的相乘运算 BigNum operator/(const int &)const; //重载除法运算符，大数对一个整数进行相除运算 BigNum operator^(const int &)const; //大数的n次方运算 int operator%(const int &)const; //大数对一个int类型的变量进行取模运算 bool operator>(const BigNum &T)const; //大数和另一个大数的大小比较 bool operator>(const int &t)const; //大数和一个int类型的变量的大小比较 void print(); //输出大数 }; BigNum::BigNum(const ll b) //将一个int类型的变量转化为大数 { ll c,d=b; len=0; memset(a,0,sizeof(a)); while(d>MAXN) { c=d-(d/(MAXN+1))*(MAXN+1); d=d/(MAXN+1); a[len++]=c; } a[len++]=d; } BigNum::BigNum(const char *s) //将一个字符串类型的变量转化为大数 { int t,k,index,L,i; memset(a,0,sizeof(a)); L=strlen(s); len=L/DLEN; if(L%DLEN)len++; index=0; for(i=L-1;i>=0;i-=DLEN) { t=0; k=i-DLEN+1; if(k<0)k=0; for(int j=k;j<=i;j++) t=t*10+s[j]-'0'; a[index++]=t; } } BigNum::BigNum(const BigNum &T):len(T.len) //拷贝构造函数 { int i; memset(a,0,sizeof(a)); for(i=0;i<len;i++) a[i]=T.a[i]; } BigNum & BigNum::operator=(const BigNum &n) //重载赋值运算符，大数之间赋值运算 { int i; len=n.len; memset(a,0,sizeof(a)); for(i=0;i<len;i++) a[i]=n.a[i]; return *this; } istream& operator>>(istream &in,BigNum &b) { char ch[MAXSIZE*4]; int i=-1; in>>ch; int L=strlen(ch); int count=0,sum=0; for(i=L-1;i>=0;) { sum=0; int t=1; for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10) { sum+=(ch[i]-'0')*t; } b.a[count]=sum; count++; } b.len=count++; return in; } ostream& operator<<(ostream& out,BigNum& b) //重载输出运算符 { int i; cout<<b.a[b.len-1]; for(i=b.len-2;i>=0;i--) { printf("d",b.a[i]); } return out; } BigNum BigNum::operator+(const BigNum &T)const //两个大数之间的相加运算 { BigNum t(*this); int i,big; big=T.len>len?T.len:len; for(i=0;i<big;i++) { t.a[i]+=T.a[i]; if(t.a[i]>MAXN) { t.a[i+1]++; t.a[i]-=MAXN+1; } } if(t.a[big]!=0) t.len=big+1; else t.len=big; return t; } BigNum BigNum::operator*(const BigNum &T)const //两个大数之间的相乘 { BigNum ret; int i,j,up; int temp,temp1; for(i=0;i<len;i++) { up=0; for(j=0;j<T.len;j++) { temp=a[i]*T.a[j]+ret.a[i+j]+up; if(temp>MAXN) { temp1=temp-temp/(MAXN+1)*(MAXN+1); up=temp/(MAXN+1); ret.a[i+j]=temp1; } else { up=0; ret.a[i+j]=temp; } } if(up!=0) ret.a[i+j]=up; } ret.len=i+j; while(ret.a[ret.len-1]==0 && ret.len>1)ret.len--; return ret; } void BigNum::print() //输出大数 { int i; printf("%d",a[len-1]); for(i=len-2;i>=0;i--) printf("d",a[i]); printf("\n"); } bool BigNum::operator>(const BigNum &T)const //大数和另一个大数的大小比较 { int ln; if(len>T.len)return true; else if(len==T.len) { ln=len-1; while(a[ln]==T.a[ln]&&ln>=0) ln--; if(ln>=0 && a[ln]>T.a[ln]) return true; else return false; } else return false; } bool BigNum::operator>(const int &t)const //大数和一个int类型的变量的大小比较 { BigNum b(t); return *this>b; } BigNum dp[100][100]; ll a[100]; //ll dp[100][100]; int main(){ int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); ll x=0; BigNum ans(x); for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ scanf("%lld",&a[j]); } for(int c=m;c>=1;c--){ BigNum temp(a[c]*2); dp[c][c]=temp; for(int b=c+1;b<=m;b++){ if(dp[c+1][b]*2+a[c]*2>dp[c][b-1]*2+a[b]*2) dp[c][b]=dp[c+1][b]*2+a[c]*2; else dp[c][b]=dp[c][b-1]*2+a[b]*2; //dp[c][b]=max(dp[c+1][b]*2+a[c]*2,dp[c][b-1]*2+a[b]*2); } //k*=2; } ans=ans+dp[1][m]; //cout<<dp[1][m]<<" "<<dp[1][2]<<" "<<dp[1][1]<<endl; } ans.print(); return 0; }