在上一节，我们通过两个浅显易懂的例子表明，人工智能的根本目标就是在不同的数据集中找到他们的边界，依靠这条边界线，当有新的数据点到来时，只要判断这个点与边界线的相互位置就可以判断新数据点的归属。
上一节我们举得例子中，数据集可以使用一条直线区分开。但对很多问题而言，单一直线是无法把数据点区分开的，例如亦或运算， 当两数的值不同时，亦或结果为1，相同时亦或运算结果为0，我们用 oxr 标记亦或运算，那么输入是0和1时，有以下几种情况：
1 xor 0 = 10 xor 1 = 11 xor 1 = 00 xor 0 = 0 1我们把输入的四种情况绘制到坐标轴上看看：
我们看到，两个绿色点属于同一集合，因为绿色点做亦或运算后结果都是1，红色点属于统一集合，因为他们做运算后结果都是0，然而面对这种情形，你根本无法用一根直线把两种集合点区分开来，你必须如上图所示，用两根直线才能区分，如果点在两根直线之间，那么他们属于同一集合，如果点处于两跟直线之外，那么他们属于另外一个集合。
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所谓神经网络就是由很多个神经元组成的集合，我们可以认为一个神经元用于绘制一段分割线，复杂的数据分布需要很多条形状各异的线条才能组成合理的分界线，数据分布的情况越复杂，我们就需要越多个神经元来进行运算。
深度学习的神经网络借助了生物学对脑神经系统的研究成果。一个生物大脑神经元如下所示：
最左边的部分’dendrite‘叫突触，它用来接收外界输入的电信号，中间部分axon叫轴突，它把突触接收的信号进行整合处理，右边部分terminals叫终端输出，它把轴突整合后的信号切分成多部分，分别传送给其他神经元。下图是脑神经学家从鸽子脑子获取的神经元图像：
人的大脑大概有一千亿个神经元组成一个庞大的计算网络。苍蝇大脑只有十万个神经元，尽管如此，苍蝇就能够控制飞行，寻找食物，识别和躲避危险，这些很看似简单的动作操控就连现在最强大的计算机都无法实现。生物大脑其运算能力远逊于计算机，为何生物能轻而易举做到的事情计算机却做不到呢？大脑的运行机制目前人类还没有完全搞懂，但有一点可以肯定的是，生物大脑的运算运行存在“模糊性”，而电子计算机不行。
我们看一个神经元是如何工作的。神经元接收的是电信号，然后输出另一种电信号。如果输入电信号的强度不够大，那么神经元就不会做出任何反应，如果电信号的强度大于某个界限，那么神经元就会做出反应，向其他神经元传递电信号：
想象你把手指深入水中，如果水的温度不高，你不会感到疼痛，如果水的温度不断升高，当温度超过某个度数时，你会神经反射般的把手指抽出来，然后才感觉到疼痛，这就是输入神经元的电信号强度超过预定阈值后，神经元做出反应的结果。为了模拟神经元这种根据输入信号强弱做出反应的行为，在深度学习算法中，运用了多种函数来模拟这种特性，最常用的分布是步调函数和sigmoid函数，我们先看看步调函数的特性，我们通过以下代码来绘制步调函数：
import matplotlib.pyplot as pltx = [1,2,3,4]y = [0, 1, 2, 3]plt.step(x, y)plt.show() 12345 1上面代码运行后结果如下：
我们看到，这个函数的特点是，当输入的x小于1时，函数的输出一直都是零。当输入的x大于等于1时，输出一下子从零跃迁到1，当x输入处于1到2之间时，输出一直是1，当x增大到2以上时，输出一下子跃迁到2，以此类推。
第二种常用的模拟函数就是sigmoid,它的形状就像字母S,输入下面代码绘制sigmoid函数：
from matplotlib import pylabimport pylab as pltimport numpy as npdef sigmoid(x): return (1 / (1 + np.exp(-x)))mySamples = []mySigmoid = []x = plt.linspace(-10, 10, 10)y = plt.linspace(-10, 10, 100)plt.plot(x, sigmoid(x), 'r', label = 'linspace(-10, 10, 10)')plt.plot(y, sigmoid(y), 'r', label='linspace(-10, 10, 1000)')plt.grid()plt.title('Sigmoid function')plt.suptitle('Sigmoid')plt.legend(loc='lower right')plt.text(4, 0.8, r'$\sigma(x)=\frac{1}{1+e^(-x)}$', fontsize=15)plt.gca().xaxis.set_major_locator(plt.MultipleLocator(1))plt.gca().yaxis.set_major_locator(plt.MultipleLocator(0.1))plt.xlabel('X Axis')plt.ylabel('Y Axis')plt.show() 1234567891011121314151617181920212223242526272829303132 1上面代码执行后结果如下：
从函数图我们看到，当输入小于0时，函数的输出增长很缓慢，当输入大于0时，输出便极具增长，等到x大到一定程度后，输出保持在固定水准。sigmoid函数的代数式子如下：
其中的字母e表示欧拉常数，它的值约为2.71828。以后面对更复杂的问题时，我们还得使用更复杂的模拟函数，所有这些模拟神经元对电信号进行反应的函数统称为激活函数。
一个神经元会同时接收多个电信号，把这些电信号统一起来，用激活函数处理后再输出新的电信号，如下图：
神经网络算法中设计的神经元会同时接收多个输入参数，它把这些参数加总求和，然后代入用激活函数，产生的结果就是神经元输出的电信号。如果输入参数加总的值不大，那么输出的信号值就会很小，如果输入信号中，有某一个值很大其他的都很小，那么加总后值很大，输出的信号值就会变大，如果每个输入参数都不算太大，但加总后结果很大，于是输出的信号值就会很大，这种情况就使得运算具备一定的模糊性,这样就跟生物大脑的神经元运转方式很相像。
神经元不是各自为战，而是连成一个网络，并对电信号的处理形成一种链式反应：
前一个神经元接收输入信号，处理后会把输出信号分别传送给下一层的多个神经元。在神经网络算法上也会模拟这种特性，在算法设计中，我们会构造如下的数据结构：
上面有三层节点，每层有三个节点，第一层的节点接收输入，进行运算后，把输出结果分别提交给下一层的三个节点，如此类推直到最后一层。现在问题是，这种结构如何像上一节我们举得例子那样，根据误差进行学习调整呢？事实上，在上一层的节点把处理后的电信号传达到下一层的节点时，输出信号会分成若干部分分别传给下一层的不同节点，每一部分都对应一个权值，如下图：
我们看到，第一层的节点1把输出信号传给第二层的节点1时，传递路径上有一个权值W(1,1)，也就是节点1输出的电信号值乘以这个权值W(1,1)后，所得的结果才会提交给第二层的节点1，同理第一层节点1输出的信号要乘以W(1,2)这个权值后，所得结果才会传递给第二层节点2.
这些参数就对应于我们上一节例子中用于调整的参数，整个网络对输入进行运算后，在最外层产生输出，输出会跟结果进行比对，获取误差，然后网络再根据误差反过来调整这些层与层之间的传递参数，只不过参数调整的算法比我们前一节的例子要复杂不少。接下来我们看看一个具体的两层网络信号传递运算过程。
上图是一个两层网络，每个网络有两个节点，假设从第一次开始输入两个信号，分别是1，0.5：
第一层神经元直接把输入加总后分发到第二层，第二层神经元使用的激活函数是sigmoid, 神经元之间的信号权值如下：
W(1,1) = 0.9; W(1,2) = 0.2W(2,1) = 0.3; W(2,2) = 0.8 12 1就如上一节例子描述的，一开始每层节点间的权值是随机获取的。于是第一层神经元处理信号后把输出传递给第二层：
主要的运算发生在第二层的神经元节点。第二层的神经元要把第一层传来的信号值加总然后在传给sigmoid激活函数
从第一层第一个节点传给第二层第一个节点的信号值是 1.0 * 0.9 = 0.9; 第一层第二个节点传给第二层第一个节点的信号值是 0.5 * 0.3 = 0.15。第二层第一个节点把这些信号值加总后得 X = 0.9 + 0.15 = 1.05; 再把这个值传给sigmoid函数: 1 / (1 + exp(-x))；也就是y = 1 / (1 + exp(-1.05)) = 0.7408;
第一层第一个节点传递给第二层第二个节点的信号值是 1.0 * 0.2 = 0.2; 第一层第二个节点传给第二层第二个节点的信号值是 0.5 * 0.8 = 0.4, 第二层第二个节点把这些信号值加总得 X = 0.2 + 0.4 = 0.6, 再将其传入激活函数得 y = 1 / (1 + exp(-0.6)) = 0.6457，最后我们得到神经网络的输出结果为： (0.7408, 0.6457)。
下一节我们将深入研究如何使用张量运算加快神经网络的运算，以及探讨如何通过误差调整网络中节点间的权值。
