斐波那契数列及其变型

原始斐波那契数列

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。 n<=39

思路

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

class Solution { public: int fib[40]={0}; int Fibonacci(int n) { if(n==0) return 0; if(n==1||n==2) return 1; else{ if(fib[n]!=0) return fib[n]; else{ fib[n]=Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2); return fib[n]; } } } };

跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

思路

n级台阶有F(n)种跳法。假设第一次跳1级，那么剩下n-1级台阶有F(n-1)种跳法；假设第一次跳2级，那么剩下n-2级台阶有F(n-2)种跳法。于是F(n)=F(n-1)+F(n-2)

class Solution { public: int j[40]={0}; int jumpFloor(int number) { if(number==1) return 1; if(number==2) return 2; else{ if(j[number]!=0) return j[number]; else{ j[number]=jumpFloor(number-1)+jumpFloor(number-2); return j[number]; } } } };

变态跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路

与上题跳台阶类似。假设n级台阶有F(n)种跳法。那么第一次跳台阶可以跳1级，2级，…，n级。 则F(n)=F(n-1)+F(n-2)+…+F(1) 再有F(n-1)=F(n-2)+F(n-3)+…+F(1) 所以F(n)=F(n-1)+F(n-1)=2*F(n-1)

class Solution { public: int j[40]={0}; int jumpFloorII(int number) { if(number==1) return 1; if(j[number]!=0) return j[number]; else { j[number]=2*jumpFloorII(number-1); return j[number]; } } };

矩阵覆盖

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

思路

同样，我们假设2*n的大矩形有F(n)种覆盖方法。第一个2*1的矩形如果竖着放，那么剩下2*(n-1)的矩形有F(n-1)种覆盖方法；如果横着放，那么剩下2*(n-2)的矩形有F(n-2)种覆盖方法。于是F(n)=F(n-1)+F(n-2) 这里的n理解为大矩形剩余边长也行，理解为小矩形剩余块数也行。

class Solution { public: int rc[40]={0}; int rectCover(int number) { if(number==0) return 0;//测试用例中有number=0的情况 if(number==1) return 1; if(number==2) return 2; else{ if(rc[number]!=0) return rc[number]; else{ rc[number]=rectCover(number-1)+rectCover(number-2); return rc[number]; } } } };