杨辉三角的几种 Python 实现方法

杨辉三角的基本概念

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现

特点

每个数等于它上方两数之和。每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。第n行的数字有n项。第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

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Python的三种实现方法

方法一

将杨辉三角每次计算时，都抽象成每行后面先增加一个0

于是本行第i个元素就等于上一行的(i-1)个元素和i元素的和（每行第0个元素是上一行抽象后的第0个元素和第(0-1)个元素，即抽象出来的0与1的和）

抽象出来的0为下一行提供足够的遍历次数

[1, 0] [1, 1, 0] [1, 2, 1, 0] [1, 3, 3, 1, 0] [1, 4, 6, 4, 1, 0]

代码：

def triangles(): row = [1] while True: yield row row.append(0) # 补零以便于计算下一行数据 row = [row[i - 1] + row[i] for i in range(len(row))] # 通过本行相邻两个数据相加获得下一行的数据 if __name__ == '__main__': t = triangles() for i in range(6): print(next(t))

结果：

[1] [1, 1] [1, 2, 1] [1, 3, 3, 1] [1, 4, 6, 4, 1] [1, 5, 10, 10, 5, 1]

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方法二

循环内的遍历从1开始，即从代码开头定义每行的初始值为1，后续不再改变由第二个元素开始，每行元素为上一行对应位置和前一位置元素的和每行最后一个元素都为1，直接最后添加即可

代码：

def triangles(): row = [1] while True: yield row for i in range(1, len(row)): row[i] = pre_line[i] + pre_line[i - 1] # 本行第 i 个元素为上一行的 i 元素与 i-1 元素相加 row.append(1) # 本行最后需要补元素 1 pre_line = row[:] # 复制本行, 用于计算下一行数据 if __name__ == '__main__': t = triangles() for i in range(6): print(next(t))

结果：

[1] [1, 1] [1, 2, 1] [1, 3, 3, 1] [1, 4, 6, 4, 1] [1, 5, 10, 10, 5, 1]

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方法三

此方法相对较复杂，它在列表内嵌套列表形成二维列表，杨辉三角的每行为二维列表的一个列表元素函数遍历杨辉三角的每一行，单独计算该行的每一个元素，其中每个元素为上一行同位置的元素和前一个元素之和上一行元素在函数中表现为二维列表的前一个元素该行首尾计算时，分别抽象为前后多一个零进行计算

代码：

def triangles (line): result = [[1]] for row in range(1, line): # for 循环计算杨辉三角一共多少行 current_row = [] for column in range(row+1): # for 循环计算当前行一共多少个元素 if column == 0: upper_former_param = 0 # 计算此行的第一个元素, 则它上一行的前一个元素为 0 else: upper_former_param = result[row-1][column-1] # 获得此行元素在上一行的前一个元素 if column == len(result[row-1]): upper_param = 0 # 计算此行的第一个元素, 则它上一行同样位置的元素为 0 else: upper_param = result[row-1][column] # 获得此行元素在上一行同样位置的元素 param = upper_former_param + upper_param # 此行的元素为上一行同样位置及其前一个位置的和 current_row.append(param) # 将该元素添加到这一行 result.append(current_row) # 将这一行添加到结果中 return result if __name__ == '__main__': print(triangles(6))

结果：

[[1], [1, 1], [1, 2, 1], [1, 3, 3, 1], [1, 4, 6, 4, 1], [1, 5, 10, 10, 5, 1]]