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一入侯门“深”似海，深度学习深几许（深度学习入门系列之一）人工“碳”索意犹尽，智能“硅”来未可知（深度学习入门系列之二）神经网络不胜语，M-P模型似可寻（深度学习入门系列之三）“机器学习”三重门，“中庸之道”趋若人（深度学习入门系列之四）Hello World感知机，懂你我心才安息 (深度学习入门系列之五)损失函数减肥用，神经网络调权重（深度学习入门系列之六）山重水复疑无路，最快下降问梯度（深度学习入门系列之七)
在神经网络（甚至深度学习）参数训练中，BP(Back Propagation)算法非常重要，它都占据举足轻重的地位。在提及BP算法时，我们常将它与杰弗里•辛顿（Geoffrey Hinton）的名字联系在一起。但实际上，辛顿还真不是第一个提出BP算法的人，就像爱迪生不是第一个发明电灯的人一样。但人们记住的，永远都是那个让电灯“飞入平常百姓家”的功勋人物爱迪生，而不是它的第一发明人美国人亨利·戈培尔(Henry Goebel)。如果说辛顿就是BP算法的“爱迪生”，那谁是BP算法的“戈培尔”呢？他就是保罗·沃伯斯（Paul Werbos）。1974年，沃伯斯在哈佛大学博士毕业。在他的博士论文里，首次提出了通过误差的反向传播来训练人工神经网络[1]。事实上，这位沃伯斯不光是BP算法的开创者，他还是循环神经网络（Recurrent Neural Network，RNN）的早期开拓者之一。在后期的系列入门文章中，我们还会详细介绍RNN，这里暂且不表。说到BP算法，我们通常强调的是反向传播，但其实呢，它是一个典型的双向算法。更确切来说，它的工作流程是分两大步走：（1）正向传播输入信号，输出分类信息（对于有监督学习而言，基本上都可归属于分类算法）；（2）反向传播误差信息，调整全网权值（通过微调网络参数，让下一轮的输出更加准确）。下面我们分别举例，说明这两个流程。为了简化问题描述，我们使用如图8-1所示的最朴素三层神经网络。在这个网络中，假设输入层的信号向量是[-1, 1]，输出层的目标向量为[1, 0]，“学习率”η为0.1，权值是随机给的，这里为了演示方便，分别给予或“1”或“-1”的值。下面我们就详细看看BP算法是如何运作的？
图8-1 简易的三层神经网络正向传播信息，简单说来，就是把信号通过激活函数的加工，一层一层的向前“蔓延”，直到抵达输出层。在这里，假设神经元内部的激活函数为Sigmod（\( f(x) = frac{1}{{1 + {e^{ - x}}}}\)）。之所以选用这个激活函数，主要因为它的求导形式非常简洁而优美：
$$ f'(x) = f(x)(1 - f(x))\tag{8.1} $$
事实上，类似于感知机，每一个神经元的功能都可细分两大部分：（1）汇集各路链接带来的加权信息；（2）加权信息在激活函数的“加工”下，神经元给出相应的输出，如图8-2所示。
图8-2 单个神经元的两部分功能于是，在正向传播过程中，对于\(f_1(e)\)神经元的更新如图8-3所示，其计算过程如下所示：
$$ \begin{array}{l} {f_1}(e) = {f_1}({w_{11}}{x_1} + {w_{21}}{x_2}) \\\\ {\rm{ }} = {f_1}(( - 1) \times 1 + 1 \times ( - 1)) \\\\ {\rm{ }} = {f_1}( - 2) \\\\ {\rm{ }} = \frac{1}{{1 + {e^{ - ( - 2)}}}} \\\\ {\rm{ }} = 0.12 \\\\ \end{array} $$
图8-3 神经元信息前向更新神经元1的f1(e) 接着，在同一层更新\(f_2(e)\)的值，过程和计算步骤类似于\(f_1(e)\)，如图8-4所示：$$ \begin{array}{l} {f_2}(e) = {f_2}({w_{12}}{x_1} + {w_{22}}{x_2}) \\\\ {\rm{ }} = {f_2}(1 \times 1 + 1 \times ( - 1)) \\\\ {\rm{ }} = {f_2}(0) \\\\ {\rm{ }} = \frac{1}{{1 + {e^0}}} \\\\ {\rm{ }} = 0.5\\\\ \end{array} $$
图8-4 神经元信息前向更新神经元2的f2(e)接下来，信息正向传播到下一层（即输出层），更新神经元3的\(f_3(e)\)（即输出\(y_1\)的值），如图8-5所示。
$$ \begin{array}{l} {y_1} = {f_3}(e) = {f_3}({w_{13}}{f_1} + {w_{23}}{f_2}) \\\\ {\rm{ }} = {f_3}(1 \times 0.12 + 1 \times 0.5) \\\\ {\rm{ }} = {f_3}(0.62) \\\\ {\rm{ }} = \frac{1}{{1 + {e^{ - 0.62}}}} \\\\ {\rm{ }} = 0.65 \\\\ \end{array} $$
图8-5 神经元信息前向更新神经元3的f3(e) 然后，类似地，计算同在输出层求神经元\(f_4(e)\)（即输出\(y_2\)）的值，如图8-6所示。$$ \begin{array}{l} {y_2} = {f_4}(e) = {f_4}({w_{14}}{f_1} + {w_{24}}{f_2}) \\\\ {\rm{ }} = {f_4}(( - 1) \times 0.12 + 1 \times 0.5) \\\\ {\rm{ }} = {f_4}(0.38)\\\\ {\rm{ }} = \frac{1}{{1 + {e^{ - 0.38}}}} \\\\ {\rm{ }} = 0.59 \\\\ \end{array} $$
图8-6神经元信息前向更新f4(e) 到此，在第一轮信号前向传播中，实际输出向量已计算得到\(y' = {[0.65,0.59]^T}\)，但我们预期输出的向量（即教师信号）是\(y = {[1,0]^T}\)，这二者之间是存在“误差”的。于是，重点来了，下面我们就用“误差”信息反向传播，来逐层调整网络参数。为了提高权值更新效率，这里就要用到下文即将提到的“反向模式微分法则（chain rule）”。（砰！砰！砰！敲黑板！请注意：如下部分是BP算法最为精妙之处，值得细细品味！）在前面信号正向传播的示例中，为了方便读者理解，我们把所有的权值都暂时给予了确定之值。而实际上，这些值都是可以调整的，也就是说其实它们都是变量，除掉图8-1中的所有确定的权值，把其视为变量，得就到更为一般化的神经网络示意图8-7。
图8-7 带权重变量的神经网络这里为了简化理解，我们暂时假设神经元没有激活函数（或称激活函数为\(y=x\)），于是对于隐含层神经元，它的输出可分别表示为：
$$ {f_1} = {x_1}{w_{11}} + {x_2}{w_{21}}\\\\ {f_2} = {x_1}{w_{12}} + {x_2}{w_{22}} $$
然后，对于输出层神经元有：
$$ \begin{array}{l} {f_3} = {f_1}{w_{13}} + {f_2}{w_{23}} \\\\ = ({x_1}{w_{11}} + {x_2}{w_{21}}){w_{13}} + ({x_1}{w_{12}} + {x_2}{w_{22}}){w_{23}} \\\\ = {x_1}{w_{11}}{w_{13}} + {x_2}{w_{21}}{w_{13}} + {x_1}{w_{12}}{w_{23}} + {x_2}{w_{22}}{w_{23}} \\\\ \end{array} $$
$$ \begin{array}{l} {f_4} = {f_1}{w_{14}} + {f_2}{w_{24}} \\\\ = ({x_1}{w_{11}} + {x_2}{w_{21}}){w_{14}} + ({x_1}{w_{12}} + {x_2}{w_{22}}){w_{24}} \\\\ = {x_1}{w_{11}}{w_{14}} + {x_2}{w_{21}}{w_{14}} + {x_1}{w_{12}}{w_{24}} + {x_2}{w_{22}}{w_{24}} \\\\ \end{array} $$
于是，损失函数\(L\)可表示为公式（8.2）：
$$ L({w_{11}},{w_{12}},...,{w_{ij}},...,{w_{mn}}) \\\\ = \frac{1}{2}{({y_i} - {f_i}({w_{11}},{w_{12}},...,{w_{ij}},...,{w_{mn}}))^2}\tag{8.2} $$
这里\(Y\)为预期输出值向量(由\(y_1,y_2,...,y_i,...\)等元素构成)，实际输出向量为\({f_i}({w_{11}},{w_{12}},...,{w_{ij}},...,{w_{mn}})\)。对于有监督学习而言，在特定训练集合下，输入元素\(x_i\)和预期输出\(y_i\)都可视为常量。由此可以看到，损失函数\(L\)，在本质上，就是一个单纯与权值\(w_{ij}\)相关的函数（即使把原本的激活函数作用加上去，除了使得损失函数的形式表现得更加复杂外，并不影响这个结论）。于是，损失函数\(L\)梯度向量可表示为公式（8.3）：
$$ \begin{array}{l} \nabla L = (\frac{{\partial L}}{{\partial {w_{11}}}},\frac{{\partial L}}{{\partial {w_{12}}}},...,\frac{{\partial L}}{{\partial {w_{mn}}}}) \\\\ {\rm{ }} = \frac{{\partial L}}{{\partial {w_{11}}}}{e_{11}} + \frac{{\partial L}}{{\partial {w_{12}}}}{e_{12}} + ... + \frac{{\partial L}}{{\partial {w_{mn}}}}{e_{mn}} \\\\ \end{array}\tag{8.3} $$
其中，这里的\(e_{ij}\)是正交单位向量。为了求出这个梯度，需要求出损失函数\(L\)对每一个权值\(w_{ij}\)的偏导数。BP算法之所以经典，部分原因在于，它是求解这类“层层累进”的复合函数偏导数的利器。为啥这么说呢？下面，我们就列举一个更为简化但不失一般性的例子来说明这个观点（以下案例参考了Chris Olah的博客文章[3]）。假设有如下一个三层但仅仅包括\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)和\(e\)等5个神经元的网络，在传递过程中，\(c\)、\(d\)和\(e\)神经元对输入信号做了简单的加工，如图8-8所示。
图8-8 简易的神经网络假设变量\(a\)影响\(c\)，此时我们想弄清楚\(a\)是如何影响\(c\)的。于是我们考虑这么一个问题，如果\(a\)变化一点点，那么\(c\)是如何变化的呢？我们把这种影响关系定义为变量\(c\)相对于变量\(a\)的偏导数，记做\(frac{{partial c}}{{partial a}}\)。利用高等数学的知识，我们很容易求得，对于直接相连的神经元（如\(a\)对\(c\)，或\(b\)对\(d\)），可利用“加法规则”或“乘法规则”直接求出。例如，利用加法规则，\(frac{{partial c}}{{partial a}}\)可表示为：
$$ \frac{{\partial c}}{{\partial a}} = \frac{{\partial (a + b)}}{{\partial a}} = \frac{{\partial a}}{{\partial a}} + \frac{{\partial b}}{{\partial a}} = 1 $$
而对于表达式为乘法的求偏导规则为：
$$ \frac{\partial }{{\partial u}}uv = u\frac{{\partial v}}{{\partial u}} + v\frac{{\partial u}}{{\partial u}} = v $$
那么，对于间接相连的神经元，比如\(a\)对\(e\)，如果我们也想知道\(a\)变化一点点时\(e\)变化多少，怎么办呢？也就是说，偏导数\(frac{{partial e}}{{partial a}}\)该如何求呢？这时，我们就需要用到链式法则了。这里假设\(a=2\)，\(b=1\)。如果\(a\)的变化速率是1，那么\(c\)的变化速率也是1（因为\(frac{{partial c}}{{partial a}}=1\))。类似地，如果\(c\)的变化速率为1，那么\(e\)的变化速率为2（因为\(frac{{partial e}}{{partial c}}=d=2\)）。所以相对于\(a\)变化1，\(e\)的变化为\(1 times 2 = 2\)。这个过程就是我们常说的“链式法则”，其更为形式化的表达为（如图8-9所示）：
$$ \frac{{\partial e}}{{\partial a}} = \frac{{\partial e}}{{\partial c}} \cdot \frac{{\partial c}}{{\partial a}} = d \times 1 = 2 \times 1 = 2 $$
图8-9 链式法则示意图\(a\)对\(e\)的“影响”属于单路径的影响，还比较容易求得，但这并不是我们关注的重点。因为在神经网络中，神经元对神经元的连接，阡陌纵横，其影响也是通过多条路径“交织”在一起的。在图8-9中，我们研究一下\(b\)对\(e\)的影响，就能比较好理解这一工作机理。显然，\(b\)对\(e\)的影响，也可表达为一个偏导关系：
$$ \begin{array}{l} \frac{{\partial e}}{{\partial b}} = \frac{{\partial cd}}{{\partial b}} = d\frac{{\partial c}}{{\partial b}} + c\frac{{\partial d}}{{\partial b}} \\\\ = d \times 1 + c \times 1 \\\\ = 2 \times 1 + 3 \times 1 \\\\ = 5 \\\\ \end{array} $$
从图8-9可以看出，\(b\)对\(e\)影响，其实是“兵分两路”：（1）\(b\)通过影响\(c\)，然后通过\(c\)影响\(e\)；（2）\(b\)通过影响\(d\)，然后通过\(d\)影响\(e\)。这就是多维变量（这里“多”仅为2）链式法则的“路径加和”原则。这个原则，看起来简单明了，但其实蕴藏着巨大代价。因为当网络结构庞大时，这样的“路径加和”原则，很容易产生组合爆炸问题。例如，在如图8-10所示的有向图中，如果\(X\)到\(Y\)有三条路径（即\(X\)分别以\(alpha\)、\(beta\)和\(chi \)的比率影响\(Y\)），\(Y\)到\(Z\)也有三条路径（\(Y\)分别以\(delta \)、\(varepsilon\)和\(xi \)的比率影响\(Z\)）。
图8-10 路径加和规则演示于是，很容易根据路径加和原则得到\(X\)对\(Z\)的偏导数：
$$ \begin{array}{l} \frac{{\partial Z}}{{\partial X}} = (\alpha \delta + \alpha \varepsilon + \alpha \xi ) + \\\\ {\rm{ (}}\beta \delta + \beta \varepsilon + \beta \xi ) + \\\\ {\rm{ (}}\chi \delta + \chi \varepsilon + \chi \xi ) \\\\ \end{array}\tag{8.4} $$
上面用到的求偏导数方法，可称之为“前向模式微分（forward-mode differentiation）”，如图8-11-（a）所示。当网络结构简单时，即使\(X\)到\(Z\)的每一个路径都被“临幸（遍历）”一遍，总共才有 \(3 times 3 = 9\) 条路径，但一旦网络结构的复杂度上去了，这种“前向模式微分”，就会让求偏导数的次数和神经元个数的平方成正比。这个计算量，就很可能是成为机器“难以承受的计算之重”。有道是“东方不亮西方亮”。为了避免这种海量求导模式，数学家们另辟蹊径，提出了一种称之为“反向模式微分（reverse-mode differentiation）”。取代公式（8.4）的那种简易的表达方式，我们用公式（8.5）的表达方式来求\(X\)对\(Z\)的偏导：
$$ \frac{{\partial Z}}{{\partial X}} = (\alpha + \beta + \xi )(\delta + \varepsilon + \xi )\tag{8.5} $$
或许你会不屑一顾，这又是在搞什么鬼？把公式（8.4）恒等变换为公式（8.5）又有什么用呢？
图8-11 前向与反向微分方法对比你可别急，这背后大有玄机，且听我慢慢道来。前文提到的前向模式微分方法，其实就是我们在高数课堂上学习的求导方式。在这种求导模式中，强调的是某一个输入（比如\(X\)）对某一个节点（如神经元）的影响。因此，在求导过程中，偏导数的分子部分，总是根据不同的节点总是不断变化，而分母则锁定为偏导变量“\(\partial X\)”，保持定不变（见图8-11-(a)）。相比而言，反向模式微分方法则有很大不同。首先在求导方向上，它是从输出端（output）到输入端进行逐层求导。其次，在求导方法上，它不再是对每一条“路径”加权相乘然后求和，而是针对节点采纳“合并同类路径”和“分阶段求解”的策略。拿8-11-(b)的例子来说，先求\(Y\)节点对\(Z\)节点的"总影响"（反向第一层）：
$$ \frac{{\partial Z}}{{\partial Y}} = \delta + \varepsilon + \xi $$
然后，再求节点\(X\)对节点\(Z\)的总影响（反向第二层）：
$$ \frac{{\partial {\rm{Z}}}}{{\partial X}} = \frac{{\partial {\rm{Z}}}}{{\partial Y}}\frac{{\partial Y}}{{\partial X}} = (\delta + \varepsilon + \xi )(\alpha + \beta + \chi ) $$
特别需要注意的是，\( frac{{partial {rm{Z}}}}{{partial Y}} \)已经在第一层求导得到。在第二层仅仅需要求得\( frac{{partial {rm{Y}}}}{{partial X}} \)，而\( frac{{partial {rm{Y}}}}{{partial X}} \) 容易求得\( (alpha + beta + chi ) \),然后二者相乘即可得到所求。这样一来，就大大减轻了第二层的求导负担。在求导形式上，偏导数的分子部分（节点）不变，而分母部分总是随着节点不同而变化，即\([frac{{partial Z}}{partial }]\)。这样说来说去，好像还是不太明白！下面我们还是用图8-9所示的原始例子，对比二者的求导过程，一遍走下来，有了感性认识，你就能明白其中的差异。为了进一步方便读者理解，我们将图8-9重新绘制为图8-12的样子。
图8-12 前向模式微分方法以求变量\(b\)偏导数的流程为例，我们先用前向模式微分法，来说明这种方法的求导过程。根据加法规则，对于求偏导值\(frac{{partial e}}{{partial b}}\)的步骤可以分两步走：（1）求得所有输入（包括\(a\)和\(b\)）到终点\(e\)的每条路径上的偏导值乘积；（2）对所有条路径的导数值进行加和操作。从8-12所示的图中，对于两个输入\(a\)和\(b\)，它们共有3条路径抵达终点\(e\)（分别计为①、②和③）。对于第①条路径而言，输入\(a\)对\(e\)的影响为：
$$ \frac{{\partial e}}{{\partial b}} = 0 \times 1 \times 1 \times 2 = 0 $$
对于第②条路径而言，输入\(b\)对\(e\)的影响为：
$$ \frac{{\partial e}}{{\partial b}} = 1 \times 1 \times 1 \times 2 = 2 $$
对于第③条路径而言，输入\(b\)对\(e\)的影响为：
$$ \frac{{\partial e}}{{\partial b}} = 1 \times 1 \times 1 \times 3 = 3 $$
所以在整体上，输入\(a\)和\(b\)从三条路径上对e施加的“总影响”为：0+2+3=5.或许读者已经注意到了，有些路径已经被冗余遍历了，比如在图8-12所示中，\(a to c to e\)（第①条路）和\(b to c to e\)（第②条路）就都走了路径\(c to e\)。这些局部性的冗余也就罢了，更为“恶劣”的是，对于求\(frac{{partial e}}{{partial a}}\)，上述三条路径，它们同样还得“一个都不能少”地跑一遍，如果求得的变量多了，这到底得有多少冗余啊！
可能你会疑问，对于\(frac{{partial e}}{{partial b}}\)（\(frac{{partial e}}{{partial a}}\)），第①（③）条路径明明可以不走的嘛？这种明智，是对人的观察而言的，而且是对于简单网络而言的。因为，如果网络及其复杂，人们可能就没有这么“慧眼识珠”，识别其中的路径冗余。此外，对于计算机而言，有些时候，局部操作的“优化”，相对于整体操作的“规范化”，顶多算得上“奇淫巧技”，其优势可谓是“荡然无存”。有过大规模并行编程经验的读者，可能对这个观点会有更深的认知。
然而，同样是利用链式法则，反向模式微分方法就能非常机智地避开了这种冗余（下面即将讲到的BP算法，正是由于这么干，才有其优势的）。在这种方法中，它能做到对每一条路径只“临幸”一次，这是何等的节俭！下面我们来看看它是如何工作的。
图8-13反向模式微分方法相比于“前向模式微分法”是以输入（如图8-13-(a)所示的\(a\)和\(b\)）为锚点，正向遍历每一条可能的路径。反向模式微分法是以节点（或说神经元，如图8-13-(a)所示的\(e\)、\(c\)和\(d\)）为锚点，逐层分阶段求导，然后汇集每一个节点的外部路径（合并同类路径）。如图8-13-(b)所示，在反向求导的第1层，对于节点\(c\)有：
$$ \frac{{\partial e}}{{\partial c}} = \frac{{\partial (c \times d)}}{{\partial c}} = d = 2 $$
类似的，对于节点\(d\)有：
$$ \frac{{\partial e}}{{\partial d}} = \frac{{\partial (c \times d)}}{{\partial d}} = c = 3 $$
在阶段性的求解完毕第一层的导数之后，下面开始求解第二层神经元变量的偏导。如图8-13-(c)所示，在反向第2层，对于节点\(a\)有如图8-14-(Ⅰ)所示的求导模式。
图8-14反向模式微分方法的推演特别需要注意的是，8-14-(Ⅰ)所示的表达式“\(frac{{partial e}}{{partial c}}frac{{partial c}}{{partial a}}\)”中左部“\(frac{{partial e}}{{partial c}}\)”，已经在第1层求解过了，并“存储”在神经元\(c\)中。此时，采用“拿来主义”，拿来就能用！这就是反向模式微分的精华所在！
类似地，在反向求导第2层，对于节点\(b\)，由于它汇集“两路兵马”的影响，所以需要合并同类路径，有如图8-14-(Ⅱ)所示结果。这样一来，如图8-13反向模式微分方法，每个路径仅仅遍历一次，就可以求得所有输出（如\(e\)节点）对输入（如\(a\)或\(b\)节点）的偏导，干净利落，没有任何冗余！在第七章中，我们曾提到，“BP算法把网络权值纠错的运算量,从原来的与神经元数目的平方成正比，下降到只和神经元数目本身成正比。”其功劳，正是得益于这个反向模式微分方法节省的计算冗余
有了前面“链式求导”的知识铺垫，下面我们就来细细讲解误差反向传播的过程。鉴于我们的系列文章是写给初学者（实践者）看的，下面我们尽量省略了其中较为复杂的推导公式，对该部分感兴趣的读者可参阅卡内基梅隆大学Tom Mitchell教授的经典著作《机器学习》[3]（对公式不感冒的读者，第一遍阅读可以直接跳过公式，直达图文解释部分）。
误差反向传播通过梯度下降算法，迭代处理训练集合中的样例，一次处理一个样例。对于样例\(d\)，如果它的预期输出（即教师信号）和实际输出有“误差”，BP算法抓住这个误差信号\(L_d\)，以“梯度递减”的模式修改权值。也就是说，对于每个训练样例\(d\)，权值\({w_{ji}}\)的校正幅度为\(Delta {w_{ji}}\)（需要说明的是，\({w_{ji}}\)和\({w_{ij}}\)其实都是同一个权值，\({w_{ji}}\)表示的是神经元\(j\)的第\(i\)个输入相关的权值，这里之所以把下标“\(j\)”置于“\(i\)”之前，仅仅表示这是一个反向更新过程而已）：
$$ \Delta {w_{ji}} = - \eta \frac{{\partial {L_d}}}{{\partial {w_{ji}}}}\tag{8.6} $$
在这里，\(L_d\)表示的是训练集合中样例\(d\)的误差，分解到输出层的所有输出向量，\(L_d\)可表示为：
$$ {L_d}(w) = \frac{1}{2}\sum\limits_{j \in outputs} {({y_j} - y_{j}^{'}} {)^2}\tag{8.7} $$
其中：\(y_j\)表示的是第\(j\)个神经单元的预期输出值。\(y^{'}_{j}\)表示的\(j\)个神经单元的实际输出值。\(outputs\)的范围是网络最后一层的神经元集合。下面我们推导出\(frac{{partial {L_d}}}{{partial {w_{ji}}}}\)的一个表达式，以便在公式（8.7）中使用梯度下降规则。首先，我们注意到，权值\(w_{ji}\)仅仅能通过\(net_j\)影响其他相连的神经元。因此利用链式法则有：
$$ \begin{array}{l} \frac{{\partial {L_d}}}{{\partial {w_{ji}}}} = \frac{{\partial {L_d}}}{{\partial ne{t_j}}}\frac{{\partial ne{t_j}}}{{\partial {w_{ji}}}} \\ {\rm{ }} = \frac{{\partial {L_d}}}{{\partial ne{t_j}}}{x_{ji}} \\ \end{array}\tag{8.8} $$
在这里，\(ne{t_j} = sumnolimits_i {{w_{ji}}{x_{ji}}} \)，也就是神经元\(j\)输入的加权和。\(x_{ji}\)表示的神经\(j\)的第\(i\)个输入。需要注意的是，这里的\(x_{ji}\)是个统称，实际上，在反向传播过程中，在经历输出层、隐含层和输入层时，它的标记可能有所不同。由于在输出层和隐含层的神经元对“纠偏”工作，承担的“责任”是不同的，至少是形式不同，所以需要我们分别给出推导。（1）在输出层，对第\(i\)个神经元而言，省略部分推导过程，公式（8.8）的左侧第一项为：
$$ \frac{{\partial {L_d}}}{{\partial ne{t_j}}} = ({y_j} - y_{j}^{'})y_{j}^{'}(1 - y_{j}^{'})\tag{8.9} $$
为了方便表达，我们用该神经元的纠偏“责任（responsibility）”\(delta _j^{(1)}\)描述这个偏导，即：
$$ \delta _{j}^{(1)} = \frac{{\partial {L_d}}}{{\partial ne{t_j}}} \tag{8.10} $$
这里\(delta _{j}^{(1)}\)的上标“(1)”，表示的是第1类（即输出层）神经元的责任。如果上标为“(2)”，则表示第2类（即隐含层）神经元的责任，见下面的描述。（2）对隐含层神经元\(j\)的梯度法则（省略了部分推导过程），有：
其中：\(f_j\)表示神经单元\(j\)的计算输出。\( net_j \)表示的是神经单元\(j\)的加权之和。\( Downstream(j) \)表示的是在网络中神经单元\(j\)的直接下游单元集合。隐含层神经元的纠差职责，是通过计算前一步输出神经元的“责任”来实现的。这里说的每层神经元“责任”，或者更为确切来说是“纠偏责任”，其实就是在8.2.2节讲到的“分阶段求解”策略。在明确了各个神经元“纠偏”的职责之后，下面就可以依据类似于感知机学习，通过如下加法法则更新权值：对于输出层神经元有：
$$ w_{ji}^{(1)} = w_{ji}^{(1)} + \eta \Delta w_{ji}^{(1)} \\\\ = w_{ji}^{(1)} + \eta \delta _i^{(1)}{h_j} \tag{8.12} $$
对于隐含层神经元有：
在这里，\(eta in (0,1)\)表示学习率。在实际操作过程中，为了防止错过极值，\(eta\)通常取小于0.1的值。\(h_j\)为神经元j的输出。\(x_{jk}\)表示的是神经单元\(j\)的第\(k\)个输入。上面的公式依然比较抽象，难以理解。下面我们还是以前面的神经网络拓扑结构为例，用实际运算过程给予详细说明，以期望给与读者感性认识。从上面的描述可以得知，针对输出层的神经元3，它的输出值\(y_{1}^{'}\)为0.65，而期望输出值\(y_1\)为1，二者存在“误差”：\({ e_1} = {y_1} - y_{1}^{'} = 1 - 0.65 = 0.35 \)。在这里，我们把每个神经元根据误差调参的“责任”记为\(delta \)，那么，根据公式（8.9）和（8.10），神经元3的“责任”可表示为：
图8-15 误差反向传播计算神经元3的“责任”从上面分析可知，我们很容易计算出\( delta _{3}^{(1)} \)的值：
于是，可以反向更新\(w_{31}^{(1)}\)的权值为：
在这里，（具体推导见公式8.8-8.10），\(eta \)为学习率，此处取值为0.1。\(f_1\)为神经元1的输出（即\(y_{1}^{'}\)）。类似地，我们可以反向更新\(w_{_{32}}^{(1)}\)）的权值：
$$ \begin{array}{l} w_{32}^{(1)} = w_{32}^{(1)} + \eta \Delta w_{32}^{(1)} \\\\ {\rm{ }} = w_{32}^{(1)} + \eta \delta _3^{(1)}{f_2} \\\\ {\rm{ }} = 1 + 0.1 \times 0.0796 \times 0.5 \\\\ {\rm{ }} = 1.00398 \\\\ \end{array} $$
同样的操作，我们可以计算出\(delta _4^{(1)}\)的值，如图8-16所示。
图8-16 误差反向传播计算神经元4的责任从而可以反向更新\(w_{41}^{(1)}\)的权值：
$$ \begin{array}{l} w_{41}^{(1)} = w_{41}^{(1)} + \eta \Delta w_{41}^{(1)} \\\\ {\rm{ }} = w_{41}^{(1)} + \eta \delta _4^{(1)}{f_1} \\\\ {\rm{ }} = - 1 + 0.1 \times ( - 0.1427) \times 0.12 \\\\ {\rm{ }} = - 1.0017 \\\\ \end{array} $$
类似地，我们可以反向更新\(w_{42}^{(1)}\)的权值：
$$ \begin{array}{l} w_{42}^{(1)} = w_{42}^{(1)} + \eta \Delta w_{42}^{(1)} \\\\ {\rm{ }} = w_{42}^{(1)} + \eta \delta _4^{(1)}{f_2} \\\\ {\rm{ }} = 1 + 0.1 \times ( - 0.1427) \times 0.5 \\\\ {\rm{ }} = 0.9929 \\\\ \end{array} $$
在反向更新完毕输出层的权值后，下面。我们开始反向更新隐含层的网络权值，示意图如图8-17所示。
图8-17 误差反向传播计算神经元1的责任如果我们把反向传播误差的“职责（即\({delta _j}\)）”，也看做一种特殊信息的话，那么在隐藏层的每个神经元都会有一个加权和影响，记为\({Delta _j}\)，实际上，这里的\({Delta _j}\)，就是公式（8.11）的加权求和\(Downstream(j)\)（其实也就是8.2.2所提及的“合并同类路径”）。对于隐含层神经1，则有：
有了这个权值影响，我们就可以很容易计算出神经元1承担的“责任”\(delta _{_1}^{(2)}\)：
$$ \begin{array}{l} \delta _{_1}^{(2)} = {f_1}(1 - {f_1}){\Delta _1} \\\\ = 0.12 \times (1 - 0.12) \times 0.2223 \\\\ = - 0.0235 \\\\ \end{array} $$
在计算出计算神经元1承担的“责任”之后，我们就可以更新与神经元1相连的两个输入变量权值：
类似的流程（示意图如图8-18所示），可以求得神经元2的累计加权影响有：
图8-18误差反向传播计算神经元2的责任于是，计算神经元2承担的“责任”\(delta _2^{(2)}\)：
$$ \begin{array}{l} \delta _{_2}^{(2)} = {f_2}(1 - {f_2}){\Delta _2} \\\\ = 0.5 \times (1 - 0.5) \times ( - 0.0631) \\\\ = 0.0158 \\\\ \end{array} $$
同样，计算出计算神经元2承担的“责任”之后，我们就可以更新与神经元2相连的两个输入变量权值：
从上面的推导过程，我们可以看到，经过一轮的误差逆传播，神经网络的权值前后确有不同。但由于学习率（即步长）较小（为0.1），所以前后的权值变化并不大(括号内的数值为原始权值)，如图8-19所示。
图8-19 一轮BP算法之后前后的权值对比如此一来，整个网络的权值就全部得以更新。接下来，网络就可接受下一个训练样例，接着往下训练了，直到输出层的误差小于预设的容忍度。BP算法，在很多场所的确非常有用。例如，1989年，Yann Lecun（又一位当下的深度学习大牛）等人就用BP算法，在手写邮政编码识别上有着非常成功的应用[5]，训练好的系统，手写数字错误率只有5%。Lecun借此还申请了美国专利，开了公司，发了一笔小财。在发表BP算法之后的30年，2006年，辛顿等人在发表的有关“深度信念网”的经典论文中指出[8]，深度信念网（DBN）的组成元件就是受限玻尔兹曼机 (Restricted Boltzmann Machines, RBM)。而DBN的构建其实分两步走的：（1）单独“无监督”地训练每一层RBM网络，以确保特征向量在映射到不同特征空间时，能够尽可能多地保留特征信息；（2）在DBN的最后一层，设置BP网络，用以接收RBM的输出特征向量作为它的输入特征向量，然后“有监督”地训练实体关系分类器，对网络权值实施微调（Fine-Tune）。现在你看到了，BP算法的影响力，一直渗透到“深度学习”骨子里！这就是为什么在讲深度学习时，我们绕不过BP算法的原因。
在本章中，我们详细解释了反向传播（BP）算法，通过学习我们知道，BP算法其实并不仅仅是个反向算法，而是一个双向算法。也就是说，它其实是分两大步走：（1）正向传播信号，输出分类信息；（2）反向传播误差，调整网络权值。如果没有达到预期目的，重走回头路（1）和（2）。BP算法很成功。但我们也要看到BP算法的不足，比如说会存在“梯度扩散（Gradient Diffusion）”现象，其根源在于对于非凸函数，梯度一旦消失，就没有指导意义，导致它可能限于局部最优。而且“梯度扩散”现象会随着网络层数增加而愈发严重，也就是说，随着梯度的逐层消减，导致它对调整网络权值的调整效益，作用越来越小，故此BP算法多用于浅层网络结构（通常小于等于3），这就限制了BP算法的数据表征能力，从而也就限制了BP的性能上限。再比如说，虽然相比于原生态的BP算法，虽然它降低了网络参数的训练量，但其网络参数的训练代价还是不小，耗时非常“可观”。就拿LeCun的识别手写邮编的案例说事，其训练耗时就达3天之久。再后来，与LeCun同在一个贝尔实验室的同事Vladimir Vapnik（弗拉基米尔·万普尼克），提出并发扬光大了支持向量机 (Support Vector Machine) 算法。SVM作为一种分类算法，对于线性分类，自然不在话下。在数据样本线性不可分时，它使用了所谓“核机制(kernel trick)”，将线性不可分的样本，映射到高维特征空间 (high-dimensional feature space)，从而使其线性可分。自上世纪九十年代初开始，SVM逐渐大显神威，在图像和语音识别等领域，获得了广泛而成功的应用。在手写邮政编码的识别问题上，LeCun利用BP算法，把错误率整到5%左右，而SVM在1998年就把错误率降到低至0.8%。这远超越同期的传统神经网络算法。就这样，万普尼克又把神经网络研究送到了一个新的低潮！ 在下一章中，我们将来聊聊“卷积神经网络”，这可是深度学习发展过程中的一个重要里程碑，希望你能关注。
通过本章的学习，请你思考如下问题：（1）正是由于神经网络具有强大的表示能力，“成也萧何，败也萧何”，BP算法常常遭遇“过拟合（overfitting）”，它可能会把噪音当做有效信号，你知道有什么策略来避免过拟合吗？（2）利用梯度递减策略，BP算法常停止于局部最优解,而非全局最优解，这好比“只因身在此山中”，却不知“人外有人，山外有山”，你知道有什么方法可以改善这一状况吗？（3）在BP算法流程中，我们看到的是反反复复的权值调整，而杰弗里•辛顿在文献[4]中提到的特征表示（representation），体现在什么地方？
[1] Paul J. Werbos. Beyond Regression: New Tools for Prediction and Analysis in the Behavioral Sciences. PhD thesis, Harvard University, 1974[2] Christopher Olah. Calculus on Computational Graphs: Backpropagation [3]Tom Mitchell著.曾华军等译. 机器学习. 机器工业出版社. 2007.4[4] Williams D, Hinton G. Learning representations by back-propagating errors[J]. Nature, 1986, 323(6088): 533-538.[5] LeCun Y, Boser B, Denker J S, et al. Backpropagation applied to handwritten zip code recognition[J]. Neural computation, 1989, 1(4): 541-551.[6]周志华. 机器学习. 清华大学出版社. 2016.1[7] Mirosav Kubat著. 王勇等译. 机器学习导论. 机械工业出版社. 2016.11[8] Hinton G E, Osindero S, Teh Y W. A fast learning algorithm for deep belief nets[J]. Neural computation, 2006, 18(7): 1527-1554.
文章作者：张玉宏，著有《品味大数据》一书。节选自《深度学习之美》（2018年7月电子工业出版社出版）审校：我是主题曲哥哥。
---一入侯门“深”似海，深度学习深几许（深度学习入门系列之一）人工“碳”索意犹尽，智能“硅”来未可知（深度学习入门系列之二）神经网络不胜语， M-P模型似可寻（深度学习入门系列之三）“机器学习”三重门，“中庸之道”趋若人（深度学习入门系列之四）Hello World感知机，懂你我心才安息(深度学习入门系列之五)损失函数减肥用，神经网络调权重（深度学习入门系列之六）山重水复疑无路，最快下降问梯度（深度学习入门系列之七）BP算法双向传，链式求导最缠绵（深度学习入门系列之八）全面连接困何处，卷积网络见解深（深度学习入门系列之九）卷地风来忽吹散，积得飘零美如画（深度学习入门系列之十） 局部连接来减参，权值共享肩并肩（深度学习入门系列之十一）
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