最短路径算法
一、求出最短路径的长度
以下没有特别说明的话，dis[u][v]表示从u到v最短路径长度，w[u][v]表示连接u，v的边的长度。1.Floyed-Warshall算法 O(N3)
简称Floyed(弗洛伊德)算法，是最简单的最短路径算法，可以计算图中任意两点间的最短路径。Floyed的时间复杂度是O (N3)，适用于出现负边权的情况。
算法描述：
初始化：点u、v如果有边相连，则dis[u][v]=w[u][v]。
如果不相连则dis[u][v]=0x7fffffff
For (k = 1; k <= n; k++)
For (i = 1; i <= n; i++)
For (j = 1; j <= n; j++)
If (dis[i][j] >dis[i][k] + dis[k][j])
dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
算法结束：dis[i][j]得出的就是从i到j的最短路径。
Floyed算法变形：
如果是一个没有边权的图，把相连的两点间的距离设为dis[i][j]=true，不相连的两点设为dis[i][j]=false，用Floyed算法的变形：
For (k = 1; k <= n; k++)
For (i = 1; i <= n; i++)
For (j = 1; j <= n; j++)
dis[i][j] = dis[i][j] || (dis[i][k] && dis[k][j]);
用这个办法可以判断一张图中的两点是否相连。
2.Dijkstra算法O (N2)
用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法，是一种单源最短路径算法。也就是说，只能计算起点只有一个的情况。
Dijkstra的时间复杂度是O (N2)，它不能处理存在负边权的情况。
算法描述：
设起点为s，dis[v]表示从s到v的最短路径，pre[v]为v的前驱节点，用来输出路径。
a)初始化：dis[v]=∞(v≠s); dis[s]=0; pre[s]=0; b)For (i = 1; i <= n ; i++)
1.在没有被访问过的点中找一个顶点u使得dis[u]是最小的。
2.u标记为已确定最短路径
3.For 与u相连的每个未确定最短路径的顶点v if (dis[u]+w[u][v] < dis[v])
{
dis[v] = dis[u] + w[u][v];
pre[v] = u;
}
c)算法结束：dis[v]为s到v的最短距离；pre[v]为v的前驱节点，用来输出路径。
3.Bellman-Ford算法O(NE)
简称Ford（福特）算法，同样是用来计算从一个点到其他所有点的最短路径的算法，也是一种单源最短路径算法。能够处理存在负边权的情况，但无法处理存在负权回路的情况。
算法时间复杂度：O(NE)，N是顶点数，E是边数。
算法实现：设s为起点，dis[v]即为s到v的最短距离，pre[v]为v前驱。w[j]是边j的长度，且j连接u、v。
初始化：dis[s]=0,dis[v]=∞（v≠s），pre[s]=0
For (i = 1; i <= n-1; i++)
For (j = 1; j <= E; j++) //注意要枚举所有边，不能枚举点。
if (dis[u]+w[j]<dis[v]) //u、v分别是这条边连接的两个点。
{ dis[v] =dis[u] + w[j]; pre[v] = u; }
Bellman-Ford算法无法解决负权回路的问题
4、SPFA算法O(kE)SPFA是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。
算法时间复杂度：O(kE)，E是边数。K是常数，平均值为2。
算法实现：
dis[i]记录从起点s到i的最短路径，w[i][j]记录连接i，j的边的长度。pre[v]记录前趋。
team[1..n]为队列，头指针head，尾指针tail。 布尔数组exist[1..n]记录一个点是否现在存在在队列中。
初始化：
dis[s]=0,dis[v]=∞（v≠s），memset(exist,false,sizeof(exist));
起点入队team[1]=s; head=0; tail=1;exist[s]=true; do{
1、头指针向下移一位，取出指向的点u。
2、exist[u]=false;已被取出了队列
3、for与u相连的所有点v //注意不要去枚举所有点，用数组模拟邻接表存储
if (dis[v]>dis[u]+w[u][v])
{
dis[v]=dis[u]+w[u][v];
pre[v]=u;
if (!exist[v]) //队列中不存在v点，v入队。
{//尾指针下移一位，v入队;
exist[v]=true;
}
}
}
while (head < tail);
循环队列： 采用循环队列能够降低队列大小，队列长度只需开到2*n+5即可。例题中的参考程序使用了循环队列。
