向量是一组数的基本表示方法，是线性代数的基本元素。
研究一组数的基本出发点是因为使用一组数能够更好地表示方向。向量的起始点统一认为是从(0, 0)点，即原点开始。但是向量是一组有序的数字，即便是所有数字相同的向量，顺序不同其表征的方向和含义也是不同的。
如果向量仅仅用于表征方向，最多三个维度就够了，因为物理世界的最高维度就是三维。但是为了扩大数学范围和计算的能力，可以将向量抽象到n维。拓展到更高维度的向量依旧是一组数，但是含义是由使用者定义的。
综上所述，看待向量可以从两个角度出发，
可以将它看成是一个有向线段。更抽象的可以将其看成是n维空间中的一个点。首先是基本的实现，在之后会不断地完善这个向量类，此处免去了PyCharm中创建项目的过程，可以单独创建一个项目”LinearAlgebra“来管理各种代码。更推荐的是在创建了项目文件夹后点击右键选择”create package“选项，可以在这个项目中创建一个简单的函数库，之后可以在这个库中创建各个文件，假设这个库命名为"playLA"，
LinearAlgebra | |—— playLA |———— __init__.py |———— _global.py # 用于存放一些公共变量，对用户不可见 |———— Vector.py | |—— main_vector.py # 用于测试编写的向量类(注意其位置不在playLA中)本次向量的实现创建一个名为"Vector.py"的文件，
class Vector: def __init__(self, lst): """ :param lst: 传入一个list(可以看做是数组)，用于初始化向量 """ self._values = lst.copy() # 复制一份，因为如果Vector指向的lst对象发生了改变会影响Vector类 def __repr__(self): """ 系统调用该类时如何显示，如在交互界面中 """ return "Vector({})".format(self._values) def __str__(self): """ 用户调用该类时如何显示，如使用print方法 """ return "({})".format(", ".join(str(e) for e in self._values)) def __len__(self): """ 返回向量的维度，即向量中包含的元素个数 """ return len(self._value) def __getitem__(self, index): """ 取出向量中某个元素，注意index是索引从0开始 """ assert index < len(self) and type(index) == int return self._value[index]相应的在 main_vector.py中可以进行如下测试，
from playLA.Vector import Vector if __name__ == "__main__": vec = Vector([5, 2]) print(vec) # 返回 (5, 2) print(len(vec)) # 返回 2 print("vec[0] = {}, vec[1] = {}".format(vec[0], vec[1])) # 返回 vec[0] = 5, vec[1] = 2向量的基本运算包括两种，
向量加法向量数乘一个向量和另一个向量之间的运算，
向量加法 (5, 2)T+ (2, 5)T= (7, 7)T
符号表示 (a, b)T + (c, d)T = (a+c, b+d)T 拓展到更高维度也是适用的 (v1, v2, …,vn)T + (u1, u2, …, un)T = (v1+u1, v2+u2, …, vn+un)T
向量的加法可以理解为，
先从原点开始走到(5, 2)的位置(先向x移动5个单位，再向y移动2个单位)
之后再从该位置走相当于(2, 5)这样的位移(向x移动2个单位，再向y移动5个单位)。 最终的结果是向x移动7个单位，再向y移动7个单位。
一个向量和一个标量的乘法运算，
向量数乘 2 × (5， 2)T = (10, 4) 抽象表示 k × (a, b)T = (ka, kb)T 推广到更高维度 k × (v1, v2, …, vn)T = (kv1, kv2, …, kvn)T
有了向量加法的基础，数乘的理解很简单，以上面的式子为例，实际上就是2个(5, 2)T向量相加。
接上一部分的代码，
def __iter__(self): """ 返回向量的迭代器 """ return self._values.__iter__() def __add__(self, another): """ 向量加法 :param another: 另一个Vector类对象。该方法返回一个新的Vector对象。 """ assert len(self) == len(another), "Error in adding.Length of vectors must be same." # Vector类本身是可迭代对象，可以直接传入zip方法 return Vector([a+b for a, b in zip(self, another)]) def __sub__(self, another): """ 向量减法 """ assert len(self) == len(another), "Error in substracting. Length of vectors must be same." return Vector([a-b for a, b in zip(self, another)]) def __mul__(self, k): """ 向量乘法，但是这是左乘法即 Vector*k 的运算。如果求取 k*Vector，时会报错 :param k: 一个实数k """ return Vector([k*e for e in self]) def __rmul__(self, k): """ 向量乘法，是对 __mul__ 的补充，防止求取 k*Vector时报错 """ return self.__mul__(k) def __truediv__(self, k): """ __truediv__方法实现的是真除法(浮点除),而不是整数除法 :param k: 一个实数 """ assert k != 0 return (1 / k) * self def __pos__(self): """ 向量取正的结果 """ return self.__mul__(1) def __neg__(self): """ 向量取负的结果 """ return self.__mul__(-1)与加法和乘法的交换律、结合律等相似，加法运算也有一定的规则。向量的运算也遵循交换律、结合律和分配率。
u ⃗ + v ⃗ = v ⃗ + u ⃗ \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} u +v =v +u ( u ⃗ + v ⃗ ) + w ⃗ = u ⃗ + ( v ⃗ + w ⃗ ) (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w} = \vec{u} + (\vec{v}+\vec{w}) (u +v )+w =u +(v +w ) k ( u ⃗ + v ⃗ ) = k u ⃗ + k v ⃗ k(\vec{u}+\vec{v}) =k \vec{u} + k\vec{v} k(u +v )=ku +kv ( k + c ) u ⃗ = k u ⃗ + c u ⃗ (k+c)\vec{u} =k \vec{u} + c\vec{u} (k+c)u =ku +cu ( k c ) u ⃗ = k ( c u ⃗ ) (kc)\vec{u} =k (c\vec{u}) (kc)u =k(cu ) 1 u ⃗ = u ⃗ 1\vec{u} =\vec{u} 1u =u
零向量是一种特殊的向量，对于任意一个向量 u ⃗ \vec{u} u ，都存在一个向量 O O O，满足 u ⃗ + O = u ⃗ \vec{u} +O= \vec{u} u +O=u 。具体的可以表示如下， u ⃗ + O = ( u 1 u 2 . . . u n ) + ( o 1 o 2 . . . o n ) = ( u 1 + o 1 u 2 + o 2 . . . u n + o n ) = ( u 1 u 2 . . . u n ) \vec{u} +O= \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\...\\u_n\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}o_1\\o_2\\...\\o_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}u_1+o_1\\u_2+o_2\\...\\u_n+o_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}u_1\\u_2\\...\\u_n\end{pmatrix} u +O=⎝⎜⎜⎛u1u2...un⎠⎟⎟⎞+⎝⎜⎜⎛o1o2...on⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛u1+o1u2+o2...un+on⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛u1u2...un⎠⎟⎟⎞ { u 1 + o 1 = u 1 u 2 + o 2 = u 2 . . . u n + o n = u n 可得 → { o 1 = 0 o 2 = 0 . . . o n = 0 即 → O = ( 0 0 . . . 0 ) \begin{cases} u_1+o_1=u_1\\ u_2+o_2=u_2\\ ...\\ u_n+o_n=u_n \end{cases} \underrightarrow{\text{可得}}\begin{cases} o_1=0\\ o_2=0\\ ...\\ o_n=0 \end{cases} \underrightarrow{\text{即}}O=\begin{pmatrix} 0\\0\\...\\0 \end{pmatrix} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧u1+o1=u1u2+o2=u2...un+on=un 可得⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧o1=0o2=0...on=0 即O=⎝⎜⎜⎛00...0⎠⎟⎟⎞ 零向量是一定存在的，需要注意的是零向量O是不需要箭头的，因为零向量可以看做是指向自身的向量，本身是没有方向的。零向量的维度是当前空间决定的。
零向量进一步延伸概念，对于任意一个向量 u ⃗ \vec{u} u ，存在一个向量 − u ⃗ -\vec{u} −u ，满足 u ⃗ + − u ⃗ = O \vec{u}+-\vec{u}=O u +−u =O。且 − u ⃗ -\vec{u} −u 向量是唯一的，对于唯一性给出如下证明，使用反证法进行证明，
假设存在另一个向量 v ⃗ \vec{v} v ，满足 u ⃗ + v ⃗ = O \vec{u}+\vec{v}=O u +v =O ( u ⃗ + v ⃗ ) + − u ⃗ = O + − u ⃗ (\vec{u}+\vec{v})+-\vec{u}=O + -\vec{u} (u +v )+−u =O+−u 依据加法交换律， ( u ⃗ + − u ⃗ ) + v ⃗ = − u ⃗ (\vec{u}+-\vec{u})+\vec{v}=-\vec{u} (u +−u )+v =−u O + v ⃗ = − u ⃗ O+\vec{v}=-\vec{u} O+v =−u 可得， v ⃗ = − u ⃗ \vec{v}=-\vec{u} v =−u
接之前代码，
@classmethod def zero(cls, dim): """ 返回一个dim维的零向量 """ assert dim > 0 return Vector([0] * dim)因为zero是类方法，所以在main_vector.py中调用与一般的实例方法有所不同，
zero2 = Vector.zero(2) print(zero2) # 返回 (0, 0)