C++的数据结构与算法学习(四)快速排序

文章目录

1.算法描述2.算法实现及优化3.算法分析

1.算法描述

快速排序（Quicksort），最早由东尼·霍尔基于分治思想提出的排序算法，现在各种语言中自带的排序库很多使用的都是快速排序。 快速排序的基本思想：通过一次排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。

最基础的算法步骤：使用分治法来把一个串（list）分为两个子串（sub-lists）。具体算法描述如下：

从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）；

重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作；

递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

动态图演示

算法优化思路

对于小规模数组进行插入排序优化

在数据近乎有序时，递归树的平衡度差会造成算法复杂度退化成$O_{(n2)}$，利用随机选取元素进行排序的方法优化

重新排序数列时相同的数可以到任一边，这种操作会使得算法遇到大量重复元素的排序时需要重复操作，优化：双路快速排序&三路快速排序

2.算法实现及优化

三种QuickSort算法实现 //Author:cheng.jiang #ifndef QUICK_SORT_H #define QUICK_SORT_H #include <iostream> #include "InsertionSort.h" using namespace std; // 将arr[l...mid]和arr[mid+1...r]两部分进行partition // 返回p, 使得arr[l...p-1] < arr[p] ; arr[p+1...r] > arr[p] template<typename T> int __partition(T arr[], int l, int r){ //优化2 swap(arr[l],arr[rand()%(r-l+1)+l]); T v = arr[l]; int j=l;//初始化j for( int i= l; i <= r ; i++){ if(arr[i]<v){ swap(arr[j+1],arr[i]);//交换位置 j++; } } swap(arr[l],arr[j]); return j; } // 递归使用快速排序,对arr[l...r]的范围进行排序 template<typename T> void __quickSort(T arr[], int l, int r){ // 优化1 if( r - l <= 15 ){ insertionSort(arr,l,r); return; } int p = __partition(arr, l, r); __quickSort(arr, l ,p-1); __quickSort(arr, p+1, r); } //定义quickSort()函数 template<typename T> void quickSort(T arr[], int n){ //优化2,随机化pivot标定元素 srandom(time(NULL)); __quickSort( arr , 0 , n-1 ); } // 双路快速排序的partition // 返回p, 使得arr[l...p-1] < arr[p] ; arr[p+1...r] > arr[p] template <typename T> int _partition2Ways(T arr[], int l, int r){ // 随机在arr[l...r]的范围中, 选择一个数值作为标定点pivot swap( arr[l] , arr[rand()%(r-l+1)+l] ); T v = arr[l]; // arr[l+1...i) <= v; arr(j...r] >= v int i = l+1, j = r; while( true ){ // 注意这里的边界, arr[i] < v, 不能是arr[i] <= v while( i <= r && arr[i] < v ) i ++; // 注意这里的边界, arr[j] > v, 不能是arr[j] >= v while( j >= l+1 && arr[j] > v ) j --; if( i > j ) break; swap( arr[i] , arr[j] ); i ++; j --; } swap( arr[l] , arr[j]); return j; } // 对arr[l...r]部分进行快速排序 template <typename T> void _quickSort2Ways(T arr[], int l, int r){ // 对于小规模数组, 使用插入排序进行优化 if( r - l <= 15 ){ insertionSort(arr,l,r); return; } // 调用双路快速排序的partition int p = _partition2Ways(arr, l, r); _quickSort2Ways(arr, l, p-1 ); _quickSort2Ways(arr, p+1, r); } template <typename T> void quickSort2Ways(T arr[], int n){ srand(time(NULL)); _quickSort2Ways(arr, 0, n-1); } // 递归的三路快速排序算法 template <typename T> void __quickSort3Ways(T arr[], int l, int r){ // 对于小规模数组, 使用插入排序进行优化 if( r - l <= 15 ){ insertionSort(arr,l,r); return; } // 随机在arr[l...r]的范围中, 选择一个数值作为标定点pivot swap( arr[l], arr[rand()%(r-l+1)+l ] ); T v = arr[l]; int lt = l; // arr[l+1...lt] < v int gt = r + 1; // arr[gt...r] > v int i = l+1; // arr[lt+1...i) == v while( i < gt ){ if( arr[i] < v ){ swap( arr[i], arr[lt+1]); i ++; lt ++; } else if( arr[i] > v ){ swap( arr[i], arr[gt-1]); gt --; } else{ // arr[i] == v i ++; } } swap( arr[l] , arr[lt] ); __quickSort3Ways(arr, l, lt-1); __quickSort3Ways(arr, gt, r); } template <typename T> void quickSort3Ways(T arr[], int n){ srand(time(NULL)); __quickSort3Ways( arr, 0, n-1); } #endif //QUICK_SORT_H

双路快速排序中： while( j >= l+1 && arr[j] > v ) while( i <= r && arr[i] < v )不取等号的原因分析： a. 对于arr[i]<v和arr[j]>v的方式，第一次partition得到的分点是数组中间； b. 对于arr[i]<=v和arr[j]>=v的方式，第一次partition得到的分点是数组的倒数第二个。 这是因为对于连续出现相等的情况，a方式会交换i和j的值；而b方式则会将连续出现的这些值归为其中一方，使得两棵子树不平衡

测试代码 #include <iostream> #include "SortTestHelper.h" #include "InsertionSort.h" #include "MergeSort.h" #include "QuickSort.h" using namespace std; int main(){ int n = 50000; // 测试1 测试随机数组 cout<<"Test for random array, size = "<<n<<", random range [0, "<<n<<"]"<<endl; int* arr1 = SortTestHelper::generateRandomArray(n,0,n); int* arr2 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1, n); int* arr3 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1, n); int* arr4 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1, n); int* arr5 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1, n); int* arr6 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1, n); SortTestHelper::testSort("Insertion Sort", insertionSort, arr1, n); SortTestHelper::testSort("Merge Sort", mergeSort, arr2, n); SortTestHelper::testSort("Merge Sort 2", mergeSort2, arr3, n); SortTestHelper::testSort("Quick Sort", quickSort, arr4, n); SortTestHelper::testSort("Quick Sort 2 Ways", quickSort2Ways, arr5, n); SortTestHelper::testSort("Quick Sort 3 Ways", quickSort3Ways, arr6, n); delete[] arr1; delete[] arr2; delete[] arr3; delete[] arr4; delete[] arr5; delete[] arr6; cout<<endl; // 测试2 测试近乎有序的数组 int swapTimes = 10; assert( swapTimes >= 0 ); cout<<"Test for nearly ordered array, size = "<<n<<", swap time = "<<swapTimes<<endl; arr1 = SortTestHelper::generateNearlyOrderedArray(n,swapTimes); arr2 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1, n); arr3 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1, n); arr4 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1,n); arr5 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1,n); arr6 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1,n); SortTestHelper::testSort("Insertion Sort", insertionSort, arr1, n); SortTestHelper::testSort("Merge Sort", mergeSort, arr2, n); SortTestHelper::testSort("Merge Sort 2", mergeSort2, arr3, n); SortTestHelper::testSort("Quick Sort", quickSort, arr4, n); SortTestHelper::testSort("Quick Sort 2 Ways", quickSort2Ways, arr5, n); SortTestHelper::testSort("Quick Sort 3 Ways", quickSort3Ways, arr6, n); delete[] arr1; delete[] arr2; delete[] arr3; delete[] arr4; delete[] arr5; delete[] arr6; cout<<endl; // 测试3 测试存在包含大量相同元素的数组 cout<<"Test for random array, size = "<<n<<", random range [0,10]"<<endl; arr1 = SortTestHelper::generateRandomArray(n,0,10); arr2 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1, n); arr3 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1, n); arr4 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1,n); arr5 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1,n); arr6 = SortTestHelper::copyIntArray(arr1,n); SortTestHelper::testSort("Insertion Sort", insertionSort, arr1, n); SortTestHelper::testSort("Merge Sort", mergeSort, arr2, n); SortTestHelper::testSort("Merge Sort 2", mergeSort2, arr3, n); // 在包含大量重复元素的情况下, QuickSort会退化成O(n^2)算法, 在这里不做执行 //SortTestHelper::testSort("Quick Sort", quickSort, arr4, n); SortTestHelper::testSort("Quick Sort 2 Ways", quickSort2Ways, arr5, n); SortTestHelper::testSort("Quick Sort 3 Ways", quickSort3Ways, arr6, n); delete[] arr1; delete[] arr2; delete[] arr3; delete[] arr4; delete[] arr5; delete[] arr6; return 0; } 实验结果

3.算法分析

快速排序是一种原地排序，只需要一个很小的栈作为辅助空间，空间复杂度为$O_{(}log2n)$，所以适合在数据集比较大的时候使用。 时间复杂度比较复杂，最好的情况是$O_{(n)}$，最差的情况是$O_{(n2)}$，所以平时说的$O_{(}nlogn)$，为其平均时间复杂度。对于随机数组、近乎有序的数组和大量重复元素的数组，三种QuickSort的性能各有不同。