《MATLAB图像处理超级学习手册》一一2.4 MATLAB矩阵的运算

本节书摘来自异步社区出版社《MATLAB图像处理超级学习手册》一书中的第2章，第2.节，作者：MATLAB技术联盟 , 张岩 更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。

2.4 MATLAB矩阵的运算

MATLAB图像处理超级学习手册MATLAB中，矩阵的运算包括＋（加）、－（减）、*（乘）、/（右除）、（左除）、^（乘方）等运算。下面对其进行介绍。

2.4.1　矩阵加减运算假定有两个矩阵A和B，若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相加减即可，由A+B和A-B来实现矩阵的加减运算。

【例2-9】对矩阵A和B进行加减运算。

>>A=[5 4 6;8 9 7;3 6 4] >>B=[9 1 7;5 6 6;5 6 8] >>C=A+B >>D=A-B A = 　　 5　　 4　　 6 　　 8　　 9　　 7 　　 3　　 6　　 4 B = 　　 9　　 1　　 7 　　 5　　 6　　 6 　　 5　　 6　　 8 C = 　　14　　 5　　13 　　13　　15　　13 　　 8　　12　　12 D = 　　-4　　 3　　-1 　　 3　　 3　　 1 　　-2　　 0　　-4

如果A与B的维数不相同时，例如：

>>A=[5 4 6;8 9 7;3 6 4] B=[9 1 7;5 6 6;5 6 8;7 9 8] C=A+B D=A-B

则MATLAB将给出错误信息，Error: using+Matrix dimensions must agree。提示用户两个矩阵的维数不匹配。

2.4.2　矩阵乘法假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则可以进行矩阵乘法的操作，即C=A*B为m×p矩阵。矩阵乘法需要被乘矩阵的列数与乘矩阵的行数相等。

【例2-10】矩阵的相乘。

>>A=[5 4 6;8 9 7;3 6 4] >>B=[9 1 7 1;5 6 6 2;5 6 8 3] >>C=A*B A = 　　 5　　 4　　 6 　　 8　　 9　　 7 　　 3　　 6　　 4 B = 　　 9　　 1　　 7　　 1 　　 5　　 6　　 6　　 2 　　 5　　 6　　 8　　 3 C = 　　95　　65　 107　　31 　 152　 104　 166　　47 　　77　　63　　89　　27

当矩阵相乘不满足被乘矩阵的列数与乘矩阵的行数相等时，例如：

>>A=[5 6;8 7;3 4] B=[9 1 7 1;5 6 6 2;5 6 8 3] C=A*B

则MATLAB将给出错误信息， Error: using　* Matrix dimensions must agree。提示用户两个矩阵的维数不匹配。

2.4.3　矩阵除法矩阵除法运算中，和/分别表示左除和右除。AB等效于A的逆左乘B矩阵，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵。左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般AB≠B/A。

【例2-11】矩阵除法。

>>clear >>A=[5 4 6;8 9 7;3 6 4]; >>B=[9 ;1 ;7]; >>C=A\B C = 　 -4.1538 　 -0.1154 　　5.0385

2.4.4　矩阵的乘方若A为方阵，x为标量，则一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x。

【例2-12】矩阵的乘方。

>>A=[5 4 6;8 9 7;3 6 4]; >>B=A^2 >>C= A^3 B = 　　75　　92　　82 　 133　 155　 139 　　75　　90　　76 C = 　　　　1357　　　　1620　　　　1422 　　　　2322　　　　2761　　　　2439 　　　　1323　　　　1566　　　　1384

若D不是方阵：

D= A=[5 4 6;8 9 7] B=D^2

则MATLAB将给出错误信息“Error: The expression to the left of the equals sign is not a valid target for an assignment”。**2.4.5　矩阵的行列式**矩阵的行列式是一个数值。在MATLAB中，det函数用于求方阵A所对应的行列式的值。

【例2-13】求矩阵的行列式。

>>A=[5 4 6;8 9 7;3 6 4] >>det(A) A = 　　 5　　 4　　 6 　　 8　　 9　　 7 　　 3　　 6　　 4 ans = 　　52

2.4.6　矩阵的秩矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。在MATLAB中，rank函数用于求矩阵的秩。

【例2-14】求矩阵的秩。

>>A=[5 4 6;8 9 7;3 6 4] >>rank(A) A = 　　 5　　 4　　 6 　　 8　　 9　　 7 　　 3　　 6　　 4 ans = 　　 3

2.4.7　矩阵的逆对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得AB=BA=I（I 为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。

求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易，inv函数用于求方阵的逆矩阵。

【例2-15】求矩阵的逆。

>>A=[1 2 3;5 5 6;7 7 9]; >>inv(A) ans = 　 -1.0000　 -1.0000　　1.0000 　　1.0000　　4.0000　　-3.0000 　　0.0000　 -2.3333　　1.6667

2.4.8　矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中，trace函数用来求矩阵的迹。

【例2-16】求矩阵的迹。

>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] >>rank(A) A = 　　 1　　 2　　 3 　　 4　　 5　　 6 　　 7　　 8　　 9 ans = 　　 2

2.4.9　矩阵的范数及其计算函数在MATLAB中，cond函数用于计算矩阵的范数。该函数的调用方法如下。

cond(A,1)：表示计算A的1-范数下的条件数。

cond(A)或cond(A,2) ：表示计算A的2-范数数下的条件数。

cond(A,inf)：表示计算A的 ∞-范数下的条件数。

【例2-17】为求矩阵的范数。

>>A=[5 4 6;8 9 7;3 6 4]; X1=cond(A,1) X2=cond(A) X3=cond(A,inf)

运行结果如下：

X1 = 　　19 X2 = 　 14.9448 X3 = 　　24

2.4.10　矩阵的特征值与特征向量在MATLAB中，eig函数用于计算矩阵的特征值和特征向量。该函数调用方法如下。

E=eig(A)：表示求矩阵A的全部特征值，构成向量E。

[V,D]=eig(A)：表示求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并求A的特征向量构成V的列向量。

[V,D]=eig(A, ‘nobalance’)：与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后再求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3是直接求矩阵A的特征值和特征向量的。

【例2-18】求矩阵的特征值和特征向量。

>>A=rand(3,3) x1=eig(A) [V,D]=eig(A) Y1= V*A Y2= V*D

运行结果如下：

A = 　　0.3922　　0.7060　　0.0462 　　0.6555　　0.0318　　0.0971 　　0.1712　　0.2769　　0.8235 x1 = 　 -0.4960 　　1.0481 　　0.6954 V = 　　0.6174　 -0.4576　 -0.3467 　 -0.7822　 -0.3723　 -0.2087 　　0.0841　 -0.8075　　0.9145 D = 　 -0.4960　　　　 0　　　　 0 　　　　 0　　1.0481　　　　 0 　　　　 0　　　　 0　　0.6954 Y1 = 　 -0.1171　　0.3253　 -0.3015 　 -0.5865　 -0.6219　 -0.2441 　 -0.3398　　0.2869　　0.6785 Y2 = 　 -0.3062　 -0.4796　 -0.2411 　　0.3879　 -0.3902　 -0.1451 　 -0.0417　 -0.8463　　0.6359 相关资源：敏捷开发V1.0.pptx